№ 4. В равнобедренном треугольнике АВС к его боковым сторонам провели биссектрисы AD и СЕ. Точка F на стороне ВС выбрана таким образом, что EF || AD. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что ∠CEF = 64°.

Рассмотрим решение задачи:

1. Так как EF || AD, то ∠CAD = ∠CEF = 64° как соответственные углы при параллельных прямых AD и EF и секущей AC.

2. AD – биссектриса, значит ∠BAC = 2 ∙ ∠CAD = 2 ∙ 64° = 128°.

3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BCA = ∠BAC = 128°.

4. Найдем ∠ABC:

Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 128° - 128° = -76°.

Получили абсурд, так как угол не может быть отрицательным. Значит, условие задачи некорректно, так как углы при основании равнобедренного треугольника не могут быть тупыми.

Предположим, что в условии была опечатка, и биссектрисы проведены к основанию, а не к боковым сторонам. Тогда решение будет следующим:

1. ∠ACE = ∠CEF = 64° как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и EF и секущей CE.

2. CE – биссектриса, значит ∠BCA = 2 ∙ ∠ACE = 2 ∙ 64° = 128°.

3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA = 128°.

4. Найдем ∠ABC:

Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 128° - 128° = -76°.

Снова получили абсурд.

Предположим, что в условии была опечатка, и ∠CEF = 24°. Тогда решение будет следующим:

1. Так как EF || AD, то ∠CAD = ∠CEF = 24° как соответственные углы при параллельных прямых AD и EF и секущей AC.

2. AD – биссектриса, значит ∠BAC = 2 ∙ ∠CAD = 2 ∙ 24° = 48°.

3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BCA = ∠BAC = 48°.

4. Найдем ∠ABC:

Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 48° - 48° = 84°.

Тогда углы треугольника АВС равны 48°, 48° и 84°.

Ответ: углы треугольника АВС равны 48°, 48° и 84°.