№ 5*. В сосуде высотой h = 74 см находятся глицерин (ρ₁ = 1,2\(\frac{г}{см³}\)), вода (ρ₂ = 1,0\(\frac{г}{см³}\)) и керосин (ρ₃ = 800\(\frac{кг}{м³}\)), заполняя его доверху. Определите гидростатическое давление на дне сосуда, если массы всех жидкостей одинаковы (g=10\(\frac{Н}{кг}\)). Дано: Решение: p-? Ответ: р = кПа.

Дано:

• Высота сосуда: h = 74 см = 0.74 м
• Плотность глицерина: ρ₁ = 1.2 г/см³ = 1200 кг/м³
• Плотность воды: ρ₂ = 1.0 г/см³ = 1000 кг/м³
• Плотность керосина: ρ₃ = 800 кг/м³
• Ускорение свободного падения: g = 10 Н/кг
• Массы всех жидкостей одинаковы: m₁ = m₂ = m₃ = m

Найти:

Давление на дне сосуда: p - ?

Решение:

Так как массы всех жидкостей одинаковы, то m₁ = m₂ = m₃ = m. Выразим массы через плотности и объемы:

\[m_1 = \rho_1 V_1, \quad m_2 = \rho_2 V_2, \quad m_3 = \rho_3 V_3\]

Объемы можно выразить через площади и высоты, так как сосуд имеет постоянное сечение. Пусть площадь сечения равна A. Тогда:

\[V_1 = A h_1, \quad V_2 = A h_2, \quad V_3 = A h_3\]

Тогда массы можно записать как:

\[m = \rho_1 A h_1 = \rho_2 A h_2 = \rho_3 A h_3\]

Выразим высоты слоев жидкостей через массу m и площадь A:

\[h_1 = \frac{m}{\rho_1 A}, \quad h_2 = \frac{m}{\rho_2 A}, \quad h_3 = \frac{m}{\rho_3 A}\]

Сумма высот слоев равна общей высоте сосуда:

\[h_1 + h_2 + h_3 = h\]

Подставим выражения для высот:

\[\frac{m}{\rho_1 A} + \frac{m}{\rho_2 A} + \frac{m}{\rho_3 A} = h\]

Вынесем \(\frac{m}{A}\) за скобки:

\[\frac{m}{A} \left(\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3}\right) = h\]

Выразим \(\frac{m}{A}\):

\[\frac{m}{A} = \frac{h}{\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3}}\]

Подставим это выражение в формулы для высот:

\[h_1 = \frac{h}{\rho_1 \left(\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3}\right)}, \quad h_2 = \frac{h}{\rho_2 \left(\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3}\right)}, \quad h_3 = \frac{h}{\rho_3 \left(\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3}\right)}\]

Теперь можем вычислить значения высот, подставив численные значения:

\[\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2} + \frac{1}{\rho_3} = \frac{1}{1200} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{800} = \frac{10 + 12 + 15}{12000} = \frac{37}{12000}\]

\[h_1 = \frac{0.74}{\frac{1200 \cdot 37}{12000}} = \frac{0.74 \cdot 12000}{1200 \cdot 37} = \frac{0.74 \cdot 10}{37} = \frac{7.4}{37} = 0.2 \text{ м}\]

\[h_2 = \frac{0.74}{\frac{1000 \cdot 37}{12000}} = \frac{0.74 \cdot 12000}{1000 \cdot 37} = \frac{0.74 \cdot 12}{3.7} = 0.24 \text{ м}\]

\[h_3 = \frac{0.74}{\frac{800 \cdot 37}{12000}} = \frac{0.74 \cdot 12000}{800 \cdot 37} = \frac{0.74 \cdot 15}{3.7} = 0.3 \text{ м}\]

Гидростатическое давление на дне сосуда равно сумме давлений, создаваемых каждой жидкостью:

\[p = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2 + \rho_3 g h_3\]

Подставим значения:

\[p = 1200 \cdot 10 \cdot 0.2 + 1000 \cdot 10 \cdot 0.24 + 800 \cdot 10 \cdot 0.3\]

\[p = 2400 + 2400 + 2400 = 7200 \text{ Па}\]

Переведем в кПа:

\[p = \frac{7200}{1000} = 7.2 \text{ кПа}\]

Ответ: 7.2 кПа