№ 5. В треугольнике ABC известно, что ∠B=90°, ∠ACB=60°, отрезок CD- биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD=5 см.

В прямоугольном треугольнике ABC ($$∠B = 90°$$) угол $$∠ACB = 60°$$. Тогда угол $$∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°$$. CD - биссектриса угла $$∠ACB$$, следовательно, $$∠ACD = ∠DCB = 60° / 2 = 30°$$. Рассмотрим треугольник BDC. В нем $$∠DBC = 90°$$ и $$∠DCB = 30°$$, значит, $$∠BDC = 180° - 90° - 30° = 60°$$. Рассмотрим треугольник ADC. В нем $$∠DAC = 30°$$ и $$∠ACD = 30°$$, значит, треугольник ADC равнобедренный, и $$AD = CD$$. В прямоугольном треугольнике BDC катет BD лежит против угла $$∠DCB = 30°$$. Значит, гипотенуза CD равна удвоенному катету BD, то есть $$CD = 2 * BD = 2 * 5 = 10$$ см. Так как $$AD = CD$$, то $$AD = 10$$ см. Тогда $$AB = AD + DB = 10 + 5 = 15$$ см. **Ответ: 15 см**