№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете отметили точку К такую, что ∠AKC=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

1. Найдем угол \(∠B\): так как сумма углов треугольника равна 180°, то \(∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30°\). 2. Найдем угол \(∠KAC\): \(∠KAC = ∠A = 60°\). 3. Найдем угол \(∠AKB\): \(∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120°\) (так как они смежные). 4. Найдем угол \(∠KBA\): \(∠KBA = ∠B = 30°\). 5. В треугольнике \(ΔABK\) найдем угол \(∠BAK\): \(∠BAK = 180° - ∠AKB - ∠KBA = 180° - 120° - 30° = 30°\). 6. Так как \(∠KBA = ∠BAK = 30°\), то треугольник \(ΔABK\) - равнобедренный, и \(AK = BK = 12\) см. 7. Рассмотрим треугольник \(ΔAKC\). В нем \(∠AKC = 60°\) и \(∠KAC = 60°\), следовательно, \(∠ACK = 180° - ∠AKC - ∠KAC = 180° - 60° - 60° = 60°\). Значит, \(ΔAKC\) - равносторонний, и \(AK = KC = AC = 12\) см. **Ответ:** \(CK = 12\) см.