№ 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок ВТ – биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем ∠DBA

  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому:

  ∠DBA = 90° - ∠D = 90° - 30° = 60°

• Шаг 2: Найдем ∠TBA

  BT – биссектриса, значит, она делит ∠DBA пополам:

  ∠TBA = ∠DBA / 2 = 60° / 2 = 30°

• Шаг 3: Найдем ∠BTA

  Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому в треугольнике ABT:

  ∠BTA = 180° - ∠A - ∠TBA = 180° - 90° - 30° = 60°

• Шаг 4: Найдем сторону AT

  Рассмотрим треугольник ABT. В нем ∠A = 90°, ∠TBA = 30°.

  Используем тангенс угла TBA:

  \[tg(30°) = \frac{AT}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

  Выразим AT:

  \[AT = AB \cdot tg(30°) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]
• Шаг 5: Найдем сторону AB

  Рассмотрим треугольник DAB. В нем ∠A = 90°, ∠D = 30°.

  Используем тангенс угла D:

  \[tg(30°) = \frac{AB}{DA} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

  Выразим AB:

  \[AB = DA \cdot tg(30°) = DA \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]
• Шаг 6: Найдем сторону DA

  По условию DT = 8 см, и DA = DT + AT. Подставим ранее найденные значения:

  \[DA = 8 + AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8 + DA \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8 + DA \cdot \frac{3}{9} = 8 + DA \cdot \frac{1}{3}\]

  Решим уравнение относительно DA:

  \[DA - DA \cdot \frac{1}{3} = 8\] \[\frac{2}{3}DA = 8\] \[DA = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \text{ см}\]