№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

В треугольнике MNF: \(\angle N = 90^\circ, \angle M = 60^\circ\). Значит, \(\angle F = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Так как AD - биссектриса угла M, то \(\angle MAD = \angle DAF = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Рассмотрим треугольник ADF. В нем \(\angle DAF = 30^\circ, \angle AFD = 30^\circ\). Значит, треугольник ADF - равнобедренный, и AD = FD = 20 см. Теперь рассмотрим треугольник ADN. В нем \(\angle NAD = 30^\circ, \angle AND = 90^\circ\). Значит, \(\angle ADN = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). В треугольнике ADN известна гипотенуза AD = 20 см и угол NAD = 30°. Катет MN, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, а катет, лежащий напротив угла в 60 градусов равен гипотенузе умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). В нашем случае нужно найти катет MN = AD * sin(30) = 20 * \(\frac{1}{2}\) = 10 см.