№ 5. Восьмиклассник Вася составляет арифметические выражения с числами 1, 2, 3, 4 и 8, значения которых являются простыми числами. Какое наибольшее простое число, не превышающее 100, он может получить? (1, 2, 3, 4, 8 — это числа, а не цифры, поэтому образовывать многозначные числа с их помощью нельзя. Например, с помощью 3 и 8 нельзя получить 38. Возведение в степень - это неарифметическая операция.)

Для решения этой задачи нужно найти наибольшее простое число, не превышающее 100, которое можно получить, используя только числа 1, 2, 3, 4 и 8, а также арифметические операции (+, -, ×, ∶).

Начнем с простых чисел близких к 100 и будем проверять, можно ли их получить:

1. 97: Это простое число. Проверить, можно ли его получить, сложно, так как оно достаточно большое.
2. 89: Это простое число. Проверим, можно ли его получить.
3. 88 = 8 × 11 (11 нельзя получить)
4. 89 = 8 × какое-то число + что-то еще.
5. 83: Это простое число. Проверим, можно ли его получить.
6. 83 = 8 × 10 + 3. 10 нельзя получить, используя только данные числа и сложение, вычитание, умножение, деление.

Далее рассмотрим варианты, которые могут быть получены:

1. 8 × 4 = 32
2. 32 × 3 = 96
3. 96 + 1 = 97

Таким образом, можно получить 97. Но 97 = 3*3*3*3 + 2*2+ 4+1 +1 +1 +1. 3*3*3*3=81. Добавляем 2*2 = 4 получим 85. Прибавляем 4 получим 89. Далее прибавляем 1+1+1+1+1+1+1+1 = 8. Получим 97.

Рассмотрим число 43. 43 = 8*4 + 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 можно ли получить из исходных чисел.

Рассмотрим другие простые числа, которые можно получить:

1. 2 + 3 = 5
2. 2 × 3 = 6
3. 8 × 3 = 24
4. 8 × 4 = 32
5. 3 × 4 = 12
6. 8 + 4 + 3 + 2 + 1 = 18
7. (8 - 4) × 3 × 2 × 1 = 24
8. (8 + 4) × 3 - 2 - 1 = 33

Простое число 83 можно получить так: 8 * (4 + 3 + 3) + 1 = 8 * 10 + 3 = 80+3. Чтобы получить 10 необходимо 4+3+3. 8 * (4+3+3)+1+1+1.

Другие варианты: 4+3+3+3. (8-1) = 7. (8*4 = 32 )+3=35 + 4+3+1. 4*8 =32. 32+3+1+4+3+2. Не получится.

Ответ: 83, 43, 41, 37. Других чисел не найти.

Ответ: 83