№ 12 Ввод числа 1 балл P Найти f'(0), если f(z) = eᶻ ⋅ cosz..

Дано: $$f(z) = e^z \cdot \cos{z}$$. Найти $$f'(0)$$.

Используем правило произведения для нахождения производной функции $$f(z) = e^z \cdot \cos{z}$$: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

Здесь $$u(z) = e^z$$ и $$v(z) = \cos{z}$$.

Производная $$u(z) = e^z$$ равна $$u'(z) = e^z$$.

Производная $$v(z) = \cos{z}$$ равна $$v'(z) = -\sin{z}$$.

Теперь подставим в формулу производной произведения:

$$f'(z) = e^z \cdot \cos{z} + e^z \cdot (-\sin{z})$$

$$f'(z) = e^z (\cos{z} - \sin{z})$$

Чтобы найти $$f'(0)$$, подставим $$z = 0$$ в выражение для $$f'(z)$$:

$$f'(0) = e^0 (\cos{0} - \sin{0})$$

$$f'(0) = 1 \cdot (1 - 0)$$

$$f'(0) = 1$$

Ответ: 1