№ 2. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

1. Обозначим вершины треугольника ABC, где AB = AC. Пусть высоты, проведенные из вершин B и C, пересекаются в точке M.

2. Угол BMC равен 140°. Рассмотрим четырехугольник, образованный вершинами треугольника и точкой пересечения высот. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

3. Найдем угол BAC (угол A). Углы между высотами и сторонами треугольника равны 90°. Следовательно, в четырехугольнике, образованном вершинами B, C, точкой M и основанием высот, два угла по 90°. Тогда угол BAC = 360° - 90° - 90° - 140° = 40°.

4. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании AB и AC равны. Обозначим эти углы как угол B и угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

5. Найдем углы B и C: (180° - угол A) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: Углы треугольника ABC равны: угол A = 40°, угол B = 70°, угол C = 70°.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма углов треугольника равна 180° и углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Читерский прием: Зная угол между высотами, можно быстро найти угол при вершине равнобедренного треугольника.