№9. АВ - диаметр окружности с центром О, ∠ACD = 30°. Используя данные на рисунке, найдите ∠BAD . Ответ дайте в градусах. В ответе запишите только число без единиц измерения.

Для решения задачи необходимо вспомнить несколько теорем, связанных с окружностью:

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Рассмотрим треугольник ADC. Так как AB - диаметр окружности, то угол ∠ADC - вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, ∠ADC = 90°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, в треугольнике ADC:

$$∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠ACD = 180° - 90° - 30° = 60°$$

Углы ∠DAC и ∠DBC опираются на одну и ту же дугу DC, значит, ∠DAC = ∠DBC = 60°.

Искомый угол ∠BAD является суммой углов ∠DAC и ∠BAC. Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠BDC также опирается на дугу BC, и ∠BDC = ∠BAC. Рассмотрим треугольник BDC. Так как AB - диаметр окружности, то угол ∠BCD - вписанный угол, опирающийся на диаметр, и равен 90°.

Следовательно, в треугольнике BDC:

$$∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠BCD = 180° - 30° - 90° = 60°$$

То есть, ∠BAD = ∠DAC - ∠BAC

Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 30°.

$$∠BAD = ∠DAC - ∠BAC = 60° - 30° = 30°$$

Искомый угол равен 30°.

Ответ: 30