№1. Дано: а||b, c – секущая, ∠1 + ∠2 = 106° (рис.1). Найти все образовавшиеся углы. №2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 160° (рис. 2). Найти: ∠4 №3. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 80°. №4. Дано: а||b, с — секущая, ∠1 : ∠2 = 7 : 3 (рис. 3.). Найти: ∠1, ∠2 №5. Дано: ∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 на 35° меньше ∠4 (рис.4). Найти: ∠3, ∠4. №6. Дано: АВ = AC, ∠3 = ∠4, ∠5 + ∠3 = 140° (рис.5). Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5.

∠1 и ∠2 - односторонние углы, следовательно, ∠1 + ∠2 = 106°.

Обозначим ∠1 = x, тогда ∠2 = 106° - x.

Так как ∠1 и ∠2 - односторонние, то ∠1 + ∠2 = 180° (по свойству параллельных прямых).

Составим уравнение: x + (106° - x) = 180°.

Решим уравнение: x + 106 - x = 180°.

∠2 и ∠3 - смежные углы, следовательно, ∠2 + ∠3 = 180°.

∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 160° = 20°.

∠1 = ∠2 = 20° (по условию).

∠1 и ∠4 - вертикальные углы, следовательно, ∠4 = ∠1 = 20°.

∠CAK = ∠KAE = ∠CAE / 2 = 80° / 2 = 40° (так как AK - биссектриса).

∠AKN = ∠CAK = 40° (как накрест лежащие углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AK).

∠ANK = ∠KAE = 40° (как соответственные углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AE).

∠NAK = 180° - ∠AKN - ∠ANK = 180° - 40° - 40° = 100° (сумма углов треугольника).

∠1 и ∠2 - односторонние углы, следовательно, ∠1 + ∠2 = 180°.

Пусть ∠1 = 7x, тогда ∠2 = 3x.

Составим уравнение: 7x + 3x = 180°.

Решим уравнение: 10x = 180°.

x = 180° / 10 = 18°.

∠1 = 7x = 7 * 18° = 126°.

∠2 = 3x = 3 * 18° = 54°.

∠1 и ∠2 - смежные углы, следовательно, лежат на одной прямой. Это означает, что прямые a и b параллельны, а углы 3 и 4 - односторонние.

∠3 + ∠4 = 180° (свойство параллельных прямых).

Пусть ∠4 = x, тогда ∠3 = x - 35°.

Составим уравнение: (x - 35°) + x = 180°.

Решим уравнение: 2x - 35° = 180°.

2x = 215°.

x = 107.5°.

∠4 = 107.5°.

∠3 = 107.5° - 35° = 72.5°.

Так как AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, ∠3 = ∠2.

∠3 = ∠4 (по условию), следовательно, ∠2 = ∠4.

∠5 + ∠3 = 140° (по условию), следовательно, ∠5 = 140° - ∠3.

∠1 + ∠5 = 180° (смежные углы), следовательно, ∠1 = 180° - ∠5 = 180° - (140° - ∠3) = 40° + ∠3.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Подставим известные значения: (40° + ∠3) + ∠3 + ∠3 = 180°.

3 * ∠3 = 140°.

∠3 = 140° / 3 = 46.67° (примерно).

∠2 = ∠3 = 46.67°.

∠4 = ∠3 = 46.67°.

∠5 = 140° - ∠3 = 140° - 46.67° = 93.33°.

∠1 = 40° + ∠3 = 40° + 46.67° = 86.67°.