№19 Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10? б) Какое наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение:

Давай разберем эту задачу по арифметической прогрессии шаг за шагом.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \], где \( n \) - количество членов, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член.

В нашем случае, \( S_n = 10 \) и \( n \geq 3 \). Нам нужно проверить, существуют ли такие натуральные числа \( a_1 \) и \( a_n \), чтобы выполнялось условие.

Если \( n = 4 \), то \[ 10 = \frac{4}{2} (a_1 + a_4) \] \[ 10 = 2 (a_1 + a_4) \] \[ a_1 + a_4 = 5 \]

Например, \( a_1 = 1 \) и \( a_4 = 4 \). Тогда арифметическая прогрессия может быть такой: 1, 2, 3, 4. Сумма этих чисел равна 10.

Ответ: да, может.

б) Какое наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

Сумма \( n \) первых натуральных чисел: \[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Нам нужно найти наибольшее \( n \), при котором \( S_n < 1000 \).

То есть: \[ \frac{n(n+1)}{2} < 1000 \] \[ n(n+1) < 2000 \]

Подберем значение \( n \):

• Если \( n = 40 \), то \( 40 \cdot 41 = 1640 < 2000 \)
• Если \( n = 44 \), то \( 44 \cdot 45 = 1980 < 2000 \)
• Если \( n = 45 \), то \( 45 \cdot 46 = 2070 > 2000 \)

Наибольшее значение \( n = 44 \).

Ответ: 44

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Сумма арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = 129 \] \[ n (a_1 + a_n) = 258 \]

Разложим 258 на множители: \[ 258 = 1 \cdot 258 = 2 \cdot 129 = 3 \cdot 86 = 6 \cdot 43 \]

Рассмотрим варианты:

• Если \( n = 3 \), то \( a_1 + a_3 = 86 \). Например, 42, 43, 44.
• Если \( n = 6 \), то \( a_1 + a_6 = 43 \). Например, 20, 21, 22, 23, 24, 25.
• Если \( n = 43 \), то \( a_1 + a_{43} = 6 \). Это невозможно, так как \( a_1 \geq 1 \) и \( a_{43} \geq 43 \).
• Если \( n = 86 \), то \( a_1 + a_{86} = 3 \). Это невозможно.
• Если \( n = 129 \), то \( a_1 + a_{129} = 2 \). Это невозможно.
• Если \( n = 258 \), то \( a_1 + a_{258} = 1 \). Это невозможно.

Итак, возможные значения для \( n \) это 3 и 6.

Ответ: 3, 6.

Ответ: а) да, может; б) 44; в) 3, 6.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!