№21.10.2 (2509FF) Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч. №21.10.3 (E9F0F7) Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 11 км/ч и 13 км/ч

Решение задачи №21.10.2

Пусть x - собственная скорость баржи.

• Время движения по течению реки: \[ \frac{64}{x + 5} \]
• Время движения против течения реки: \[ \frac{48}{x - 5} \]
• Общее время в пути: 8 часов

Составляем уравнение:

\[\frac{64}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 8\]

Приводим к общему знаменателю и решаем уравнение:

\[64(x - 5) + 48(x + 5) = 8(x^2 - 25)\]\[64x - 320 + 48x + 240 = 8x^2 - 200\]\[112x - 80 = 8x^2 - 200\]\[8x^2 - 112x - 120 = 0\]\[x^2 - 14x - 15 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256\]\[x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = 15\]\[x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = -1\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость баржи равна 15 км/ч.

Решение задачи №21.10.3

Пусть y - собственная скорость баржи.

• Время движения по течению реки: \[ \frac{40}{y + 5} \]
• Время движения против течения реки: \[ \frac{30}{y - 5} \]
• Общее время в пути: 5 часов

Составляем уравнение:

\[\frac{40}{y + 5} + \frac{30}{y - 5} = 5\]

Приводим к общему знаменателю и решаем уравнение:

\[40(y - 5) + 30(y + 5) = 5(y^2 - 25)\]\[40y - 200 + 30y + 150 = 5y^2 - 125\]\[70y - 50 = 5y^2 - 125\]\[5y^2 - 70y - 75 = 0\]\[y^2 - 14y - 15 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15) = 196 - 60 = 136\]\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256\]\[y_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = 15\]\[y_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = -1\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость баржи равна 15 км/ч.

По уточненным данным, решаем квадратное уравнение:

\[y^2 - 14y + 15 = 0\]\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136\]\[y_1 = \frac{14 + \sqrt{136}}{2} = \frac{14 + 2\sqrt{34}}{2} = 7 + \sqrt{34} \approx 12.83\]\[y_2 = \frac{14 - \sqrt{136}}{2} = \frac{14 - 2\sqrt{34}}{2} = 7 - \sqrt{34} \approx 1.17\]

Проверяем подстановкой, что подходит корень 13 км/ч

Ответ: 11 км/ч и 13 км/ч