№11 Геометрическая прогрессия 1. В геометрической прогрессии (Вн)известно, что в1 = 2, 4-2. Найти пятый член этой прогрессии. 2. Геометрическая прогрессия (л) задана формулой и го члена 62-(-3)", Укажите четвертый член этой прогрессии. 3 3. Дана геометрическая прогрессия (6,), знаменатель которой равен 2, а 14. Найдите сумму первых шести её членов 4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. 5. Геометрическая прогрессия задана условием в = 160-3" Найдите сумму первых её 4 членов. 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член. 7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; 150; x; 6; 1,2; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 8. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -1024; -256; -64; ... Найдите сумму первых 5 её членов. 9. Геометрическая прогрессия задана условием = 164 (\frac{1}{4}) Найдите сумму первых её 4 членов. 10. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; 1,75; x; 28; -112; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 11. Дана геометрическая прогрессия (6), для которой 65-14, 6 = 112. Найдите знаменатель прогрессии. 12. Геометрическая прогрессия задана условием в₁ = -7, 6-1 = 36. Найдите сумму первых 5 её членов. 13. Дана геометрическая прогрессия (в), знаменатель которой равен 2, а b₁ = 16. Найдите b4. 14. Дана геометрическая прогрессия (в), знаменатель которой равен 5, а b₁= 2 5 Найдите сумму первых 6 её членов. 15. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 256; 128;64; ... Найдите сумму первых семи оё членов 4 16. Дана геометрическая прогрессия (6%), для которой в₃ = 7, 66 = -196. Найдите знаменатель прогрессии. 17. Геометрическая прогрессия задана условием б₁ = -3, 166. Найдите сумму первых 4 её членов. 18. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; -12; x; -3; 1,5; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

1. В геометрической прогрессии (bₙ) известно, что b₁ = 2, q = -2. Найти пятый член этой прогрессии.

Разбираемся:

• Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используем формулу: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
• В нашем случае n = 5, b₁ = 2, q = -2.

Подставляем значения в формулу:

\( b_5 = 2 \cdot (-2)^{5-1} = 2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot 16 = 32 \)

Ответ: 32

2. Геометрическая прогрессия (bₙ) задана формулой n-го члена \( b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1} \). Укажите четвертый член этой прогрессии.

Разбираемся:

• Для нахождения четвертого члена прогрессии, подставим n = 4 в формулу.

Вычисляем:

\( b_4 = 2 \cdot (-3)^{4-1} = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54 \)

Ответ: -54

3. Дана геометрическая прогрессия (bₙ), знаменатель которой равен 2, а b₁ = \(\frac{3}{4}\). Найдите сумму первых шести её членов.

Разбираемся:

• Для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии используем формулу: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).
• В нашем случае n = 6, b₁ = \(\frac{3}{4}\), q = 2.

Подставляем значения в формулу:

\( S_6 = \frac{\frac{3}{4}(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{3}{4}(64 - 1)}{1} = \frac{3}{4} \cdot 63 = \frac{189}{4} = 47.25 \)

Ответ: 47.25

4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Разбираемся:

• Составим систему уравнений:
• \( \begin{cases} b_1 + b_2 = 75 \\ b_2 + b_3 = 150 \end{cases} \)
• Выразим b₂ и b₃ через b₁ и q:
• \( \begin{cases} b_1 + b_1q = 75 \\ b_1q + b_1q^2 = 150 \end{cases} \)

Вынесем b₁ за скобки в первом уравнении и b₁q во втором уравнении:

• \( \begin{cases} b_1(1 + q) = 75 \\ b_1q(1 + q) = 150 \end{cases} \)

Разделим второе уравнение на первое:

\( \frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{150}{75} \)

\( q = 2 \)

Подставим q в первое уравнение:

\( b_1(1 + 2) = 75 \)

\( 3b_1 = 75 \)

\( b_1 = 25 \)

Теперь найдем b₂ и b₃:

\( b_2 = b_1q = 25 \cdot 2 = 50 \)

\( b_3 = b_2q = 50 \cdot 2 = 100 \)

Ответ: 25, 50, 100

5. Геометрическая прогрессия задана условием \( b_n = 160 \cdot 3^{-n} \). Найдите сумму первых её 4 членов.

Разбираемся:

• Для нахождения суммы первых 4 членов, сначала найдем b₁ и q.
• \( b_1 = 160 \cdot 3^{-1} = \frac{160}{3} \)
• \( b_2 = 160 \cdot 3^{-2} = \frac{160}{9} \)

Теперь найдем q:

\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{160}{9}}{\frac{160}{3}} = \frac{160}{9} \cdot \frac{3}{160} = \frac{1}{3} \)

Теперь найдем сумму первых 4 членов:

\( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{\frac{160}{3}(1 - (\frac{1}{3})^4)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{160}{3}(1 - \frac{1}{81})}{\frac{2}{3}} = \frac{160}{3} \cdot \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{2} = 80 \cdot \frac{80}{81} = \frac{6400}{81} \approx 79.01 \)

Ответ: \(\frac{6400}{81} \approx 79.01\)

6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.

Разбираемся:

• Найдем знаменатель прогрессии:
• \( q = \frac{68}{17} = 4 \)
• Теперь найдем четвертый член:
• \( b_4 = b_3 \cdot q = 272 \cdot 4 = 1088 \)

Ответ: 1088

7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; 150; x; 6; 1,2; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Разбираемся:

• В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних членов: \( b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} \).
• Тогда \( x = \sqrt{150 \cdot 6} = \sqrt{900} = 30 \).

Ответ: 30

8. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -1024; -256; -64; ... Найдите сумму первых 5 её членов.

Разбираемся:

• Найдем знаменатель прогрессии:
• \( q = \frac{-256}{-1024} = \frac{1}{4} \)
• Теперь найдем сумму первых 5 членов:
• \( S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-1024(1 - (\frac{1}{4})^5)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{-1024(1 - \frac{1}{1024})}{\frac{3}{4}} = -1024 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{1023 \cdot 4}{3} = -\frac{4092}{3} = -1364 \)

Ответ: -1364

9. Геометрическая прогрессия задана условием \( b_n = 164 \cdot (\frac{1}{4})^n \). Найдите сумму первых её 4 членов.

Разбираемся:

• Найдем первый член прогрессии:
• \( b_1 = 164 \cdot (\frac{1}{4})^1 = \frac{164}{4} = 41 \)
• Найдем знаменатель прогрессии:
• \( b_2 = 164 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 164 \cdot \frac{1}{16} = \frac{41}{4} \)
• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{41}{4}}{41} = \frac{1}{4} \)
• Теперь найдем сумму первых 4 членов:
• \( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{41(1 - (\frac{1}{4})^4)}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{41(1 - \frac{1}{256})}{\frac{3}{4}} = 41 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3} = \frac{41 \cdot 255 \cdot 4}{256 \cdot 3} = \frac{41820}{768} = \frac{1365}{64} \approx 21.33 \)

Ответ: \(\frac{1365}{64} \approx 21.33\)

10. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; 1,75; x; 28; -112; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Разбираемся:

• В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних членов: \( b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} \).
• Тогда \( x = \sqrt{1.75 \cdot 28} = \sqrt{49} = 7 \).

Ответ: 7

11. Дана геометрическая прогрессия (bₙ), для которой b₅ = -14, b₆ = 112. Найдите знаменатель прогрессии.

Разбираемся:

• Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, разделим последующий член на предыдущий:
• \( q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{112}{-14} = -8 \)

Ответ: -8

12. Геометрическая прогрессия задана условием b₁ = -7, bₙ₊₁ = 3bₙ. Найдите сумму первых 5 её членов.

Разбираемся:

• Заметим, что \( b_{n+1} = 3b_n \) означает, что знаменатель прогрессии равен 3.
• Теперь найдем сумму первых 5 членов:
• \( S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-7(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{-7(245)}{2} = -\frac{1715}{2} = -857.5 \)

Ответ: -857.5

13. Дана геометрическая прогрессия (bₙ), знаменатель которой равен 2, а b₁ = 16. Найдите b₄.

Разбираемся:

• Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используем формулу: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).
• В нашем случае n = 4, b₁ = 16, q = 2.

Подставляем значения в формулу:

\( b_4 = 16 \cdot 2^{4-1} = 16 \cdot 2^3 = 16 \cdot 8 = 128 \)

Ответ: 128

14. Дана геометрическая прогрессия (bₙ), знаменатель которой равен 5, а \(b_1 = \frac{2}{5}\). Найдите сумму первых 6 её членов.

Разбираемся:

• Для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии используем формулу: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).
• В нашем случае n = 6, b₁ = \(\frac{2}{5}\), q = 5.

Подставляем значения в формулу:

\( S_6 = \frac{\frac{2}{5}(5^6 - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{2}{5}(15625 - 1)}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15624}{4} = \frac{2 \cdot 15624}{5 \cdot 4} = \frac{31248}{20} = \frac{7812}{5} = 1562.4 \)

Ответ: 1562.4

15. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 256; 128; -64; ... Найдите сумму первых семи её членов.

Разбираемся:

• Найдем знаменатель прогрессии:
• \( q = \frac{128}{256} = \frac{1}{2} \)
• Теперь найдем сумму первых 7 членов:
• \( S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q} = \frac{256(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{256(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = 256 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508 \)

Ответ: 508

16. Дана геометрическая прогрессия (bₙ), для которой b₃ = 7, b₆ = -196. Найдите знаменатель прогрессии.

Разбираемся:

• Для нахождения знаменателя прогрессии, воспользуемся формулой: \( q^{n-m} = \frac{b_n}{b_m} \).
• В нашем случае n = 6, m = 3:
• \( q^{6-3} = \frac{b_6}{b_3} \)
• \( q^3 = \frac{-196}{7} = -28 \)
• \( q = \sqrt[3]{-28} \)

Однако, заметим, что \(b_6 = b_3 \cdot q^3\), следовательно, \(q^3 = \frac{b_6}{b_3} = \frac{-196}{7} = -28\). Значит, знаменатель прогрессии равен \(\sqrt[3]{-28}\).

Ответ: \(\sqrt[3]{-28}\)

17. Геометрическая прогрессия задана условием b₁ = -3, bₙ₊₁ = \(\frac{4}{6}\)bₙ. Найдите сумму первых 4 её членов.

Разбираемся:

• Заметим, что \( b_{n+1} = \frac{4}{6} b_n \) означает, что знаменатель прогрессии равен \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
• Теперь найдем сумму первых 4 членов:
• \( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{-3(1 - (\frac{2}{3})^4)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{-3(1 - \frac{16}{81})}{\frac{1}{3}} = -3 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = -\frac{65}{9} = -7\frac{2}{9} \)

Ответ: \(-7\frac{2}{9}\)

18. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:...; -12; x; -3; 1,5; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Разбираемся:

• В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних членов: \( b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} \).
• Тогда \( x = \sqrt{-12 \cdot (-3)} = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: 6