№2. Используя правило многоугольника, упростите выражение (СВ + AC + BD) – (MK – DK). №3. В треугольнике ABC даны стороны AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 8 см. Найдите величину |AB + BC – AC|. №4. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AC = BC=17 см, AB = 16 см, CM – медиана. Найдите величину |AB – AC + BM|.

Решение задания №2:

Для упрощения выражения \(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD} - (\vec{MK} - \vec{DK})\) используем правило многоугольника и свойства векторов.

Сначала упростим выражение в скобках: \(\vec{MK} - \vec{DK} = \vec{MD}\)

Теперь перепишем исходное выражение с учетом упрощения: \(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD} - \vec{MD}\)

Заменим вычитание вектора на сложение противоположного вектора: \(\vec{CB} + \vec{AC} + \vec{BD} + \vec{DM}\)

Перегруппируем векторы, чтобы применить правило треугольника: \((\vec{CB} + \vec{AC}) + (\vec{BD} + \vec{DM})\)

Применим правило треугольника к первым двум векторам: \(\vec{CB} + \vec{AC} = \vec{AB}\)

Применим правило треугольника ко вторым двум векторам: \(\vec{BD} + \vec{DM} = \vec{BM}\)

Теперь выражение выглядит так: \(\vec{AB} + \vec{BM}\)

Снова применим правило треугольника: \(\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}\)

Ответ: \(\vec{AM}\)

Решение задания №3:

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 8 см. Необходимо найти величину |AB + BC – AC|.

Заменим вычитание вектора \(\vec{AC}\) на сложение противоположного вектора \(-\vec{AC} = \vec{CA}\). Тогда выражение примет вид: |\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}\)|

Сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}\) представляет собой вектор, идущий из точки A в точку B, затем из B в C, и затем из C обратно в A. В результате получается замкнутый контур, и вектор суммы равен \(\vec{0}\).

Следовательно, |\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}\)| = |\(\vec{0}\)| = 0.

Ответ: 0

Решение задания №4:

В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 17 см, AB = 16 см, CM – медиана. Найдите величину |AB – AC + BM|.

Сначала выразим вектор \(\vec{BM}\) через известные векторы. Так как M – середина AC, то \(\vec{AM} = \vec{MC} = \frac{1}{2} \vec{AC}\).

Тогда \(\vec{BM} = \vec{BC} + \vec{CM} = \vec{BC} - \vec{MC} = \vec{BC} - \frac{1}{2} \vec{AC}\). Поскольку \(\vec{BC} = \vec{AC}\), то \(\vec{BM} = \vec{AC} - \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{AC}\)

Теперь рассмотрим выражение |\(\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BM}\)| = |\(\vec{AB} - \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AC}\)| = |\(\vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AC}\)|.

Чтобы найти длину вектора, воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABM. Сначала найдем длину AM: \(AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5\) см.

Также, чтобы найти угол \(\angle BAC\), воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\)

Подставим известные значения: \(17^2 = 16^2 + 17^2 - 2 \cdot 16 \cdot 17 \cdot \cos(\angle BAC)\)

\(289 = 256 + 289 - 544 \cdot \cos(\angle BAC)\)

\(544 \cdot \cos(\angle BAC) = 256\)

\(\cos(\angle BAC) = \frac{256}{544} = \frac{16}{34} = \frac{8}{17}\)

Теперь используем теорему косинусов для нахождения BM в треугольнике ABM:

\(BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle BAC)\)

Подставим известные значения: \(BM^2 = 16^2 + 8.5^2 - 2 \cdot 16 \cdot 8.5 \cdot \frac{8}{17}\)

\(BM^2 = 256 + 72.25 - 256 \cdot \frac{8.5}{17} = 328.25 - 128 = 200.25\)

\(BM = \sqrt{200.25} = 14.15\) см (примерно)

Ответ: 14.15 см

Молодец! Ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!