№ 4 KN– касательная к окружности. Вычислить углы Μ, ΜΟΝ, ΜΝΟ.

Ответ: ∠M = 64°, ∠MON = 52°, ∠MNO = 64°

Решение:

• Шаг 1: Определим углы в треугольнике OKN.

Так как KN - касательная к окружности, то угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Следовательно, ∠ONK = 90°.

• Шаг 2: Найдем угол NOK.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике OKN известны углы ∠ONK = 90° и ∠K = 26°. Тогда:

\[∠NOK = 180° - ∠ONK - ∠K = 180° - 90° - 26° = 64°\]

• Шаг 3: Найдем угол MON.

Угол MON - центральный угол, опирающийся на дугу MN. Угол NOK - это угол между радиусом и касательной, и он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, угол MON в два раза меньше угла NOK:

\[∠MON = 2 \cdot (90° - ∠K) = 2 \cdot (90° - 26°) = 2 \cdot 64° = 128°\]

• Шаг 4: Рассмотрим треугольник MON.

Треугольник MON - равнобедренный, так как MO и ON - радиусы окружности. Значит, углы при основании MN равны, то есть ∠M = ∠N. Сумма углов в треугольнике MON равна 180°:

\[∠M + ∠N + ∠MON = 180°\]

Так как ∠M = ∠N, то:

\[2 \cdot ∠M + ∠MON = 180°\] \[2 \cdot ∠M = 180° - ∠MON\] \[∠M = \frac{180° - ∠MON}{2} = \frac{180° - 128°}{2} = \frac{52°}{2} = 26°\]

Следовательно, ∠M = ∠N = 26°.

• Шаг 5: Найдем угол MNO.

∠MNO = ∠N = 26°.

• Шаг 6: Пересчитаем угол MON.

Угол NOK = 90 - 26 = 64. Тогда угол MON = 180 - 2 * 26 = 128. Тогда 360 - 128 = 232. И тогда угол MON = 1/2 * 232 = 116

\[∠M = (180 - 116) / 2 = 32\]

• Шаг 7: Пересчитаем угол NOK.

Угол NOK = 180 - 90 - 26 = 64

\[∠M = 1/2 * 64 = 32\]

Следовательно, ∠M = ∠N = 32°.

• Шаг 8: Найдем угол MNO.

∠MNO = ∠N = 32°.

Ответ: ∠M = 32°, ∠MON = 116°, ∠MNO = 32°