№1 На доске написаны 555 целых чисел. Докажите, что можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это для 554 чисел?

Рассмотрим задачу для 555 чисел. Среди 555 целых чисел всегда найдется хотя бы одно четное или нечетное число. Обозначим сумму всех чисел как S. Если S четная, то среди чисел есть четное количество нечетных чисел. В таком случае, если мы удалим любое четное число, то сумма оставшихся чисел останется четной. Если мы удалим нечетное число, то сумма станет нечетной. Значит, нужно удалить четное число, если оно есть. Если S нечетная, то среди чисел есть нечетное количество нечетных чисел. В этом случае, если мы удалим нечетное число, то сумма оставшихся чисел станет четной. Если удалим четное, то сумма останется нечетной. Значит, надо удалить нечетное число, если оно есть. Таким образом, всегда можно стереть одно число так, чтобы сумма оставшихся чисел была четной. Теперь рассмотрим случай с 554 числами. Пусть на доске написаны 554 нечетных числа. Тогда их сумма будет четной (так как четное количество нечетных слагаемых). Если мы удалим любое число, то сумма оставшихся 553 чисел будет нечетной (так как нечетное количество нечетных слагаемых). Таким образом, утверждение не всегда верно для 554 чисел. Ответ: Можно стереть одно число для 555 чисел, чтобы сумма оставшихся чисел была четной. Неверно для 554 чисел.