№1 На рисунке прямая AC касается окружности с центром O в точке A. Найдите \(\angle BAC\), если \(\angle AOB = 108^\circ\).

Прямая AC является касательной к окружности в точке A, следовательно, радиус OA перпендикулярен касательной AC. Это означает, что \(\angle OAC = 90^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle OAB\). Так как OA и OB – радиусы одной и той же окружности, то \(OA = OB\), и треугольник \(\triangle OAB\) является равнобедренным. Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому: \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\) Так как \(\angle OAB = \angle OBA\), можем записать: \(2 \cdot \angle OAB + 108^\circ = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 108^\circ\) \(2 \cdot \angle OAB = 72^\circ\) \(\angle OAB = 36^\circ\) Теперь, чтобы найти \(\angle BAC\), нужно из \(\angle OAC\) вычесть \(\angle OAB\): \(\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\) Таким образом, \(\angle BAC = 54^\circ\). Ответ: 54°