№1. Напишите определение прямой, перпендикулярной к плоскости. №2. Напишите признак перпендикулярности прямой и плоскости. №3. Дано: ABCD – прямоугольник, BF AB, AF | AD, BD = 7, DF = 25. Найдите SBDF. №4. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. №5. Дано: ДАВС, АB = BC = 10, AC = 12, BD 1 (ABC), BD = = 6. Найдите SADC-

Ответ: №1 и №2 - смотри решение, S_BDF = 84, S_ADC = 36

№1 и №2

• Определение прямой, перпендикулярной к плоскости: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к самой плоскости.

№3

Дано: ABCD – прямоугольник, BF ⊥ AB, AF ⊥ AD, BD = 7, DF = 25. Найти: S_BDF.

Решение:

• Так как ABCD – прямоугольник, то углы A, B и D прямые.
• BF ⊥ AB и AF ⊥ AD, значит, треугольники ABF и ADF прямоугольные.
• Из прямоугольного треугольника ABF: AF² + AB² = BF².
• Из прямоугольного треугольника ADF: AD² + AF² = DF².
• Пусть AB = x, AD = y. Тогда BF = √(x² + y²) и DF = 25.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD: AB² + AD² = BD², то есть x² + y² = 7² = 49.
• Из прямоугольного треугольника ADF: y² + AF² = 25² = 625.
• Выразим AF² из уравнения для треугольника ADF: AF² = 625 - y².
• Подставим это в уравнение для площади S_ABF: BF = √(625 - y² + x²) = √(625 - 49) = √576 = 24.
• Площадь треугольника BDF равна половине произведения BF на BD: S_BDF = 1/2 * BF * BD = 1/2 * 24 * 7 = 84.

Ответ: S_BDF = 84

№5

Дано: ΔABC, AB = BC = 10, AC = 12, BD ⊥ (ABC), BD = 6. Найти: S_ADC.

Решение:

• Так как BD ⊥ (ABC), то BD перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC. Следовательно, BD ⊥ AC.
• Площадь треугольника ADC равна половине произведения AC на BD: S_ADC = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 12 * 6 = 36.

Ответ: S_ADC = 36

Ответ: №1 и №2 - смотри решение, S_BDF = 84, S_ADC = 36