№6. Найдите х, если MP = 10.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим треугольники FNP и FEM.
• Угол NFP равен углу EFM как вертикальные.
• Угол FNP равен углу FEM как накрест лежащие при параллельных прямых NP и ME и секущей NE.
• Следовательно, треугольники FNP и FEM подобны по двум углам.
• Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{NF}{FE} = \frac{NP}{ME}\)
• По условию NP = 5, ME = 15, MP = 10, значит, \(\frac{NF}{FE} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)
• Пусть NF = y, тогда FE = 3y.
• Тогда NE = NF + FE = y + 3y = 4y.
• Рассмотрим треугольники NME и FPE. Они подобны по двум углам.
• Угол MNE равен углу FPE как накрест лежащие при параллельных прямых NP и ME и секущей NE.
• Угол NEM равен углу FEP как вертикальные.
• Тогда \(\frac{x}{5} = \frac{3y}{y}\)
• \(x = 5 \cdot 3 = 15\)

Ответ: 15