№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-1)2, прямыми х=-1 и х= 2 и осьюОх.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае f(x) = (x-1)², a = -1, b = 2. Так как (x-1)² всегда неотрицательно, модуль можно опустить:

\[ S = \int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx \]

Раскрываем скобки:

\[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx \]

Интегрируем:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{-1}^{2} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1) \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} - 4 + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 - 1 \right) \]

\[ S = \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 2 \]

\[ S = \frac{9}{3} \]

\[ S = 3 \]

Ответ: 3