№7,8,9 Найдите расстояние от точки М до прямой АВ

Ok, давайте решим задачи №7, 8 и 9, в которых нужно найти расстояние от точки M до прямой AB. Задача №7 На рисунке изображена окружность с центром в точке О. Прямая AB является касательной к окружности. Расстояние от точки M до прямой AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на AB. Так как AB касательная, а M лежит на прямой AB, то надо найти длину отрезка AB. Дано: Угол AOM = 30 градусов. AM = 6 Рассмотрим треугольник AOM. Это прямоугольный треугольник (т.к. M лежит на касательной AB). Катет лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Следовательно, AO = 2 * OM. При этом AM = 6. $$AO^2 = AM^2 + OM^2$$ $$(2*OM)^2 = 6^2 + OM^2$$ $$4*OM^2 = 36 + OM^2$$ $$3*OM^2 = 36$$ $$OM^2 = 12$$ $$OM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Тогда AO = $$2 * 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ и является радиусом окружности. А расстояние от точки M до прямой AB - это AM = 6. Ответ: 6 Задача №8 Дано: Угол ACB = 30 градусов. AM = 10 Найти: Расстояние от точки М до прямой АВ, т.е. длину отрезка MC. Решение: Рассмотрим треугольник ABC. Угол ACB равен 30 градусов. MC – медиана, проведенная из вершины C к стороне AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, MC = AM = BM. Тогда треугольник AMC равнобедренный, и угол MAC = углу MCA = 30 градусов. Следовательно, угол AMC = 180 – 30 – 30 = 120 градусов. По теореме синусов, в треугольнике AMC имеем: $$\frac{MC}{\sin(MAC)} = \frac{AM}{\sin(MCA)}$$ Так как углы MAC и MCA равны, то MC = AM = 10. Ответ: 10 Задача №9 Дано: Угол AOM = 45 градусов. AB = 14 Найти: Расстояние от точки M до прямой AB. Решение: Так как угол AOM = 45 градусов, то треугольник AOM - равнобедренный и прямоугольный. Опустим перпендикуляр из точки O на прямую AB. Пусть это будет точка H. Тогда OH - расстояние от центра окружности до хорды AB. OH делит хорду AB пополам, значит AH = HB = 7. Обозначим радиус окружности за r. Тогда AO = r. В треугольнике AOH: $$AH^2 + OH^2 = AO^2$$ $$7^2 + OH^2 = r^2$$ Треугольник AOM равнобедренный, значит AM = OM = r. Рассмотрим треугольник, образованный точкой M, точкой на прямой AB, ближайшей к M, и точкой A. Расстояние от M до прямой AB - это длина перпендикуляра, опущенного из M на AB. Обозначим эту точку за K. MK - искомое расстояние. Тогда AK = AB - KB. KB = AH = 7, так как OHBK - прямоугольник. Значит, AK = 14 - 7 = 7. В прямоугольном треугольнике MAK: $$AM^2 = AK^2 + MK^2$$ $$r^2 = 7^2 + MK^2$$ Также, расстояние от точки O до M равно радиусу r. OM = r. Рассмотрим треугольник OHA: $$AO^2 = AH^2 + OH^2$$ $$r^2 = 7^2 + OH^2$$ Так как угол AOM = 45 градусов, то OM - биссектриса угла AOB. Значит, угол AOH = 45/2 = 22.5 градуса. Тогда OH = AH * ctg(22.5) = 7 * ctg(22.5). Найдем MK. MK = AM * sin(45) = r * sin(45) = $$r * \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Также, AO = r = AM Выразим r^2 через MK: $$r^2 = 7^2 + MK^2 = 49 + MK^2$$ Подставим MK = r * sin(45): $$r^2 = 49 + r^2 * \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{2}r^2 = 49$$ $$r^2 = 98$$ $$r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$ Тогда MK = $$7\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 7$$ Ответ: 7