№1. Найти производную функций: 1) f(x)=2x⁴ - 7x³ + x + 6; 2) f(x)=2 sin x + 3 cos x + 4; 3) f(x)= (4x-9)⁷. №2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: у = х - 1/3 х³ на отрезке [-2; 0]. №3. Исследуйте функцию и постройте ее график: у = 2x³-6x+4.

№1. Найти производную функций:

• 1) f(x)=2x⁴ - 7x³ + x + 6

Производная функции f'(x) = 8x³ - 21x² + 1

• 2) f(x)=2 sin x + 3 cos x + 4

Производная функции f'(x) = 2 cos x - 3 sin x

• 3) f(x)= (4x-9)⁷

Производная функции f'(x) = 7(4x - 9)⁶ * 4 = 28(4x - 9)⁶

№2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: у = х - 1/3 х³ на отрезке [-2; 0].

y = x - (1/3)x³

Производная функции y' = 1 - x²

Приравниваем к нулю: 1 - x² = 0

x² = 1

x = ±1

Из этих двух точек, только x = -1 принадлежит отрезку [-2; 0].

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• y(-2) = -2 - (1/3)(-8) = -2 + 8/3 = 2/3
• y(0) = 0
• y(-1) = -1 - (1/3)(-1) = -1 + 1/3 = -2/3

Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 0] равно 2/3, а наименьшее значение равно -2/3.

№3. Исследуйте функцию и постройте ее график: у = 2x³-6x+4.

y = 2x³ - 6x + 4

Производная функции y' = 6x² - 6

Приравниваем к нулю: 6x² - 6 = 0

x² = 1

x = ±1

Критические точки: x = -1 и x = 1

Интервалы:

• (-∞; -1): y' > 0 (функция возрастает)
• (-1; 1): y' < 0 (функция убывает)
• (1; +∞): y' > 0 (функция возрастает)

Точка x = -1 является точкой локального максимума, а точка x = 1 является точкой локального минимума.

Вычисляем значения функции в точках экстремума:

• y(-1) = 2(-1)³ - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8
• y(1) = 2(1)³ - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0

Поведение функции на бесконечности:

• При x → -∞, y → -∞
• При x → +∞, y → +∞

Теперь можно построить график функции, учитывая полученные данные.