№7. Найти ТК EN = 50 EK: KN = 3:4

Пусть EK = 3x, тогда KN = 4x. EK + KN = EN, следовательно, 3x + 4x = 50.

7x = 50

$$x = \frac{50}{7}$$

$$EK = 3x = 3 \cdot \frac{50}{7} = \frac{150}{7}$$

Рассмотрим треугольник EKN. В треугольнике EKN KN - катет, KE - катет, EN - гипотенуза. EK перпендикулярно KN, следовательно, треугольник EKN - прямоугольный. Треугольник ETK - прямоугольный, так как ТК перпендикулярно EK.

Угол E - общий. Следовательно, треугольники ETK и EKN подобны по двум углам.

Составим отношение:

$$\frac{TK}{KN} = \frac{EK}{EN}$$

$$\frac{TK}{4x} = \frac{3x}{50}$$

$$TK = \frac{4x \cdot 3x}{50}$$

$$TK = \frac{12x^2}{50}$$

Подставим значение $$x = \frac{50}{7}$$

$$TK = \frac{12 \cdot (\frac{50}{7})^2}{50} = \frac{12 \cdot \frac{2500}{49}}{50} = \frac{12 \cdot 2500}{49 \cdot 50} = \frac{12 \cdot 50}{49} = \frac{600}{49}$$.

Выделим целую часть:

$$\frac{600}{49} = 12 \frac{12}{49}$$.

Ответ: $$TK = 12 \frac{12}{49}$$