№3. Определите, в какой четверти находится угол и знак синуса и косинуса. Потом вычислите синус (косинус) по первой формуле (см. задачи 1,2), а затем тангенс и котангенс. Вычислить: 1) sin a, tg a и ctg a, если cos a = _3 5 и \frac{\pi}{2} < α < π; 2) cos a, tg a и ctg a, если sin a = _2 二5 и п< α < \frac{3π}{2}.

1) Дано: $$cos \alpha = -\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$. Найти: $$sin \alpha, tg \alpha, ctg \alpha$$.

Угол $$\alpha$$ находится во второй четверти, так как $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$. Во второй четверти синус положительный, косинус отрицательный.

Вычислим синус:

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$.

Выразим $$sin \alpha$$: $$sin \alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$$.

Так как $$\alpha$$ во второй четверти, $$sin \alpha > 0$$, поэтому выбираем положительное значение корня: $$sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$$.

Подставим значение $$cos \alpha = -\frac{3}{5}$$: $$sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$.

Теперь вычислим тангенс: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$.

И котангенс: $$ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$.

Ответ: $$sin \alpha = \frac{4}{5}, tg \alpha = -\frac{4}{3}, ctg \alpha = -\frac{3}{4}$$.

2) Дано: $$sin \alpha = -\frac{2}{5}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$. Найти: $$cos \alpha, tg \alpha, ctg \alpha$$.

Угол $$\alpha$$ находится в третьей четверти, так как $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$. В третьей четверти синус отрицательный, косинус отрицательный.

Вычислим косинус:

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$.

Выразим $$cos \alpha$$: $$cos \alpha = \pm \sqrt{1 - sin^2 \alpha}$$.

Так как $$\alpha$$ в третьей четверти, $$cos \alpha < 0$$, поэтому выбираем отрицательное значение корня: $$cos \alpha = -\sqrt{1 - sin^2 \alpha}$$.

Подставим значение $$sin \alpha = -\frac{2}{5}$$: $$cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = -\sqrt{\frac{25 - 4}{25}} = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$.

Теперь вычислим тангенс: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$$.

И котангенс: $$ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$.

Ответ: $$cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}, tg \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21}, ctg \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$$.