№№3. Основанием наклонной призмы ABCDABCD является квадрат. Вершина А- проектируется в точку пересечения диагоналей основания призмы. Найдите объем призмы, если А: О=4см, а угол между боковым ребром АА, и плоскостью основания равен 45.

Рассмотрим решение задачи.

Основание призмы – квадрат ABCD. Вершина А₁ проектируется в точку О – точку пересечения диагоналей квадрата. А₁О – высота призмы.

Дано: А₁О = 4 см, угол между АА₁ и плоскостью основания равен 45°.

Найти: объем призмы.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АА₁О. Угол АОА₁ = 90°, угол А₁АО = 45°, следовательно, треугольник АА₁О – равнобедренный, АО = А₁О = 4 см.

2. АО – половина диагонали квадрата, следовательно, диагональ квадрата АС = 2 · АО = 2 · 4 = 8 см.

3. Площадь квадрата ABCD равна половине произведения диагоналей, то есть S_ABCD = (1/2) · AC² = (1/2) · 8² = 32 см².

4. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_ABCD · A₁O = 32 · 4 = 128 см³.

Ответ: 128 см³