№1 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, углы САО и DBO прямые. Докажите, что треугольники АСО и BDO равны, и найдите длину СО, если CD = 12 см.

Решение:

1. Докажем равенство треугольников АСО и BDO.
   • АО = ОВ (по условию).
   • ∠САО = ∠DBO (по условию, оба угла прямые, то есть равны 90°).
   • ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы).
   Следовательно, треугольники АСО и BDO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
2. Так как треугольники АСО и BDO равны, то CO = DO (как соответствующие элементы равных треугольников).
3. По условию CD = 12 см, а CD = CO + OD. Так как CO = DO, то CD = 2 * CO. Следовательно, CO = CD / 2 = 12 см / 2 = 6 см.

Ответ: CO = 6 см.