№1. Отрезок АК — биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Обозначим углы треугольника AKN: ∠AKN, ∠KAN, ∠ANK.

1. Рассмотрим треугольник САЕ. АК - биссектриса, следовательно, ∠CAK = ∠KAE = ∠CAE : 2.

$$∠CAK = ∠KAE = 78° : 2 = 39°$$

2. ∠KAN = ∠KAE, следовательно, ∠KAN = 39°.

3. KN || CA, следовательно, ∠AKN = ∠CAK как накрест лежащие углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AK.

$$∠AKN = 39°$$

4. Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник AKN.

$$∠ANK = 180° - ∠AKN - ∠KAN$$

$$∠ANK = 180° - 39° - 39° = 102°$$

Углы треугольника AKN: ∠AKN = 39°, ∠KAN = 39°, ∠ANK = 102°.

Ответ: ∠AKN = 39°, ∠KAN = 39°, ∠ANK = 102°.