№1. Путь длиной 39 км первый велосипедист проезжает на 24 минуты дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 2 км/ч больше скорости первого. №2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 77 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. №3. Первый рабочий за час делает на 11 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 66 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Привет! Сейчас мы с тобой решим эти задачи. Будь внимателен и у тебя все получится!

№1. Велосипедисты

Давай разберем эту задачу по шагам. Нам нужно найти скорость второго велосипедиста, зная, что он едет быстрее первого.

1. Обозначим скорость первого велосипедиста как \( v \) (км/ч), тогда скорость второго велосипедиста будет \( v + 2 \) (км/ч).
2. Время, которое тратит первый велосипедист на путь, равно \( t_1 = \frac{39}{v} \) (часов).
3. Время, которое тратит второй велосипедист на путь, равно \( t_2 = \frac{39}{v+2} \) (часов).
4. Из условия задачи известно, что первый велосипедист тратит на 24 минуты (или \( \frac{24}{60} = 0.4 \) часа) больше, чем второй. Следовательно, можно записать уравнение:

\[ \frac{39}{v} - \frac{39}{v+2} = 0.4 \]

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на \( v(v+2) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 39(v+2) - 39v = 0.4v(v+2) \]

1. Раскроем скобки:

\[ 39v + 78 - 39v = 0.4v^2 + 0.8v \] \[ 78 = 0.4v^2 + 0.8v \]

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 0.4v^2 + 0.8v - 78 = 0 \]

1. Чтобы упростить, умножим обе части на 5:

\[ 2v^2 + 4v - 390 = 0 \]

1. Разделим обе части на 2:

\[ v^2 + 2v - 195 = 0 \]

1. Теперь решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-195) = 4 + 780 = 784 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-2 \pm 28}{2} \]

Получаем два возможных значения для \( v \):

\[ v_1 = \frac{-2 + 28}{2} = \frac{26}{2} = 13 \] \[ v_2 = \frac{-2 - 28}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 13 \) км/ч.

Тогда скорость второго велосипедиста:

\[ v + 2 = 13 + 2 = 15 \text{ км/ч} \]

№2. Катер

Обозначим собственную скорость катера как \( v \) (км/ч). Тогда скорость катера по течению будет \( v + 4 \) (км/ч), а против течения — \( v - 4 \) (км/ч).

Путь из А в В и обратно одинаков и равен 77 км. Время, затраченное на путь из А в В, равно \( t_1 = \frac{77}{v + 4} \), а время на обратный путь — \( t_2 = \frac{77}{v - 4} \).

Из условия задачи известно, что на обратный путь катер затратил на 2 часа меньше, чем на путь из А в В. Значит:

\[ \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \]

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на \( (v + 4)(v - 4) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v + 4)(v - 4) \]

1. Раскроем скобки:

\[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2(v^2 - 16) \] \[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \]

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 2v^2 - 308 - 308 - 32 = 0 \] \[ 2v^2 - 648 = 0 \] \[ 2v^2 = 648 \] \[ v^2 = 324 \] \[ v = \pm \sqrt{324} \] \[ v = \pm 18 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 18 \) км/ч.

№3. Рабочие

Пусть второй рабочий делает \( x \) деталей в час. Тогда первый рабочий делает \( x + 11 \) деталей в час.

Время, которое тратит первый рабочий на выполнение заказа (66 деталей), равно \( t_1 = \frac{66}{x + 11} \) (часов). Время, которое тратит второй рабочий на выполнение заказа, равно \( t_2 = \frac{66}{x} \) (часов).

Из условия задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Значит:

\[ \frac{66}{x} - \frac{66}{x + 11} = 3 \]

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на \( x(x+11) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 66(x + 11) - 66x = 3x(x + 11) \]

1. Раскроем скобки:

\[ 66x + 726 - 66x = 3x^2 + 33x \] \[ 726 = 3x^2 + 33x \]

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 3x^2 + 33x - 726 = 0 \]

1. Разделим обе части на 3:

\[ x^2 + 11x - 242 = 0 \]

1. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(1)(-242) = 121 + 968 = 1089 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{1089}}{2} = \frac{-11 \pm 33}{2} \]

Получаем два возможных значения для \( x \):

\[ x_1 = \frac{-11 + 33}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ x_2 = \frac{-11 - 33}{2} = \frac{-44}{2} = -22 \]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, выбираем \( x = 11 \) деталей в час.