№1. Решить уравнения: 5x-2 6x-21 a)=; x+2 x-3 6) 3x²-5x-2 = 0; 2-x B)+=1. x+2

№1. Решить уравнения:

a) $$\frac{5x-2}{x+2} = \frac{6x-21}{x-3}$$;

Перенесем все в левую часть уравнения:

$$\frac{5x-2}{x+2} - \frac{6x-21}{x-3} = 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(5x-2)(x-3) - (6x-21)(x+2)}{(x+2)(x-3)} = 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{5x^2 - 15x - 2x + 6 - (6x^2 + 12x - 21x - 42)}{(x+2)(x-3)} = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$\frac{5x^2 - 17x + 6 - 6x^2 + 9x + 42}{(x+2)(x-3)} = 0$$

$$\frac{-x^2 - 8x + 48}{(x+2)(x-3)} = 0$$

Умножим на -1 числитель:

$$\frac{x^2 + 8x - 48}{(x+2)(x-3)} = 0$$

Приравняем числитель к нулю, так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (знаменатель не равен нулю):

$$x^2 + 8x - 48 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях:

$$x+2
eq 0$$

$$x
eq -2$$

$$x-3
eq 0$$

$$x
eq 3$$

Оба корня не равны -2 и 3, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: x = 4, x = -12

б) $$\frac{3x^2-5x-2}{2-x} = 0$$;

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$3x^2 - 5x - 2 = 0$$

$$2 - x
eq 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Проверим условие знаменателя:

$$2 - x
eq 0$$

$$x
eq 2$$

Первый корень не подходит, так как он равен 2.

Второй корень подходит, так как он не равен 2.

Ответ: x = -1/3

в) $$\frac{x-7}{x-2} + \frac{x+4}{x+2} = 1$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x-7)(x+2) + (x+4)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{x^2 + 2x - 7x - 14 + x^2 - 2x + 4x - 8}{(x-2)(x+2)} = 1$$

Приведем подобные слагаемые:

$$\frac{2x^2 - 3x - 22}{(x-2)(x+2)} = 1$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$2x^2 - 3x - 22 = (x-2)(x+2)$$

Раскроем скобки в правой части:

$$2x^2 - 3x - 22 = x^2 - 4$$

Перенесем все в левую часть уравнения:

$$2x^2 - 3x - 22 - x^2 + 4 = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$x^2 - 3x - 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях:

$$x-2
eq 0$$

$$x
eq 2$$

$$x+2
eq 0$$

$$x
eq -2$$

Оба корня не равны 2 и -2, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: x = 6, x = -3