№15 Решите неравенство log16(x + 5)+logx²+10x+252 >= 3/4

Давай решим это неравенство по шагам! 1. Определим ОДЗ (область допустимых значений): - \(x + 5 > 0\) => \(x > -5\) - \(x^2 + 10x + 25 > 0\) => \((x + 5)^2 > 0\) => \(x
e -5\) - \(x^2 + 10x + 25
e 1\) => \((x + 5)^2
e 1\) => \(x
e -4\) и \(x
e -6\) Таким образом, ОДЗ: \(x > -5\) и \(x
e -4\). 2. Преобразуем неравенство: \[\log_{16}(x + 5) + \log_{(x+5)^2} 2 \ge \frac{3}{4}\] 3. Изменим основание второго логарифма: \[\log_{16}(x + 5) + \frac{1}{2} \log_{(x+5)} 2 \ge \frac{3}{4}\] \[\log_{16}(x + 5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_{16} 2}{\log_{16} (x+5)} \ge \frac{3}{4}\] 4. Упростим логарифм \(\log_{16} 2\): \(\log_{16} 2 = \log_{2^4} 2 = \frac{1}{4}\) \[\log_{16}(x + 5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\log_{16} (x+5)} \ge \frac{3}{4}\] \[\log_{16}(x + 5) + \frac{1}{8\log_{16} (x+5)} \ge \frac{3}{4}\] 5. Сделаем замену переменной: Пусть \(t = \log_{16}(x + 5)\). Тогда неравенство примет вид: \[t + \frac{1}{8t} \ge \frac{3}{4}\] 6. Приведем к общему знаменателю и упростим: \[\frac{8t^2 + 1}{8t} \ge \frac{3}{4}\] \[\frac{8t^2 + 1}{8t} - \frac{3}{4} \ge 0\] \[\frac{8t^2 + 1 - 6t}{8t} \ge 0\] \[\frac{8t^2 - 6t + 1}{8t} \ge 0\] 7. Решим квадратное уравнение в числителе: \(8t^2 - 6t + 1 = 0\) Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4\) Корни: \(t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{1}{2}\), \(t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}\) 8. Разложим числитель на множители: \(8(t - \frac{1}{2})(t - \frac{1}{4}) \ge 0\) \((2t - 1)(4t - 1) \ge 0\) 9. Анализируем знак неравенства: \(\frac{(2t - 1)(4t - 1)}{8t} \ge 0\) 10. Найдем нули знаменателя: \(t = 0\) 11. Метод интервалов: Отметим точки \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\) на числовой прямой и определим знаки на интервалах: - \(t < 0\): \((-)(-)/(-) < 0\) => отрицательно - \(0 < t < \frac{1}{4}\): \((-)(-)/(+) > 0\) => положительно - \(\frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}\): \((-)(+)/(+) < 0\) => отрицательно - \(t > \frac{1}{2}\): \((+)(+)/(+) > 0\) => положительно 12. Решение относительно t: \(t \in (0; \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)\) 13. Вернемся к переменной x: a) \(0 < \log_{16}(x + 5) \le \frac{1}{4}\) \(1 < x + 5 \le 16^{\frac{1}{4}}\) => \(1 < x + 5 \le 2\) => \(-4 < x \le -3\) b) \(\log_{16}(x + 5) \ge \frac{1}{2}\) \(x + 5 \ge 16^{\frac{1}{2}}\) => \(x + 5 \ge 4\) => \(x \ge -1\) 14. Учтем ОДЗ: a) \(-4 < x \le -3\) не подходит, так как \(x
e -4\) b) \(x \ge -1\) подходит. 15. Финальное решение: \(x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)\) с учетом ОДЗ получается \(x \in (-4;-3] \cup [-1;+\infty)\).

Ответ: x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)

Молодец! Ты отлично справился с этим непростым неравенством. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!