№1. Решите уравнения: 1) 0,16^(x-7) = 2,5^(x+5) 2) 2 * 7^(x) + 7^(x+2) = 357 3) 3^(2x+2) - 12 * 3^(x) + 27 = 0 №2 Решите неравенство: 1) (2/9)^(x^2) <= (2/9)^(5x-6); 2) 3^(x+1) - 3^(x-1) + 3^(x-3) < 219; 3) 49^(x+0,5) + 6 * 7^(x) - 1 > 0, №3 Найдите значение выражения: 1) log_0,5 log_4 256; 2) log_14 98 - log_14 7; 3) log_7 625 / log_7 0,2; 4) log_343 √7; 5) 32^(1 - log_2 3); 6) 13^(log_13√13) №4 Сравните: 1) log_0,6 11 и log_0,6 12; 2) log_6 200 и 3. №5 Решите уравнения: 1) log_0,5 (3x^2 + 5x - 5) = log_0,5 (x+2); 2) log_4 (x-2) = 1 - log_4 (x+1). №6 Решите неравенство. 1) log_3 (3x-8) > log_3 (7-2x); 2) log_1/4 (x-2) > log_1/4 (x^2-3x+1); 3) log_0,3 (x-2) + log_0,3 (x-3) >= log_0,3 (x+1). №7 Найдите область определения функции: 1) y = log_0,7 (18-5x); 2) y = log_(x-5) (9-x); 3) y = 7 / log_2 (x+4)

Решение №1

1) 0,16^(x-7) = 2,5^(x+5)

Представим 0,16 как (2,5)^(-2), тогда уравнение можно переписать как:

((2,5)^(-2))^(x-7) = 2,5^(x+5)

2,5^(-2x+14) = 2,5^(x+5)

Поскольку основания равны, приравниваем показатели:

-2x + 14 = x + 5

3x = 9

x = 3

Ответ: x = 3

---

2) 2 * 7^(x) + 7^(x+2) = 357

Представим 7^(x+2) как 7^x * 7^2 = 49 * 7^x, тогда уравнение можно переписать как:

2 * 7^x + 49 * 7^x = 357

51 * 7^x = 357

7^x = 7

x = 1

Ответ: x = 1

---

3) 3^(2x+2) - 12 * 3^(x) + 27 = 0

Представим 3^(2x+2) как 3^(2x) * 3^2 = 9 * (3^x)^2, тогда уравнение можно переписать как:

9 * (3^x)^2 - 12 * 3^x + 27 = 0

Разделим обе части на 3:

3 * (3^x)^2 - 4 * 3^x + 9 = 0

Пусть y = 3^x, тогда уравнение можно переписать как:

3y^2 - 4y + 9 = 0

Найдем дискриминант: D = (-4)^2 - 4 * 3 * 9 = 16 - 108 = -92

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений

---

Решение №2

1) (2/9)^(x^2) <= (2/9)^(5x-6)

Поскольку основание (2/9) меньше 1, знак неравенства меняется:

x^2 >= 5x - 6

x^2 - 5x + 6 >= 0

Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 5x + 6 = 0

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

x_1 = (5 + √1) / 2 = 3

x_2 = (5 - √1) / 2 = 2

Тогда решение неравенства: x <= 2 или x >= 3

Ответ: x <= 2 или x >= 3

---

2) 3^(x+1) - 3^(x-1) + 3^(x-3) < 219

Вынесем 3^x за скобки:

3^x (3 - 1/3 + 1/27) < 219

3^x (81/27 - 9/27 + 1/27) < 219

3^x (73/27) < 219

3^x < 219 * (27/73)

3^x < 3 * 27

3^x < 81

3^x < 3^4

x < 4

Ответ: x < 4

---

3) 49^(x+0,5) + 6 * 7^(x) - 1 > 0

49^(x+0,5) = 49^x * 49^0,5 = 7^(2x) * 7 = 7 * (7^x)^2

Пусть y = 7^x, тогда неравенство можно переписать как:

7y^2 + 6y - 1 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 7y^2 + 6y - 1 = 0

D = 6^2 - 4 * 7 * (-1) = 36 + 28 = 64

y_1 = (-6 + √64) / (2 * 7) = 2 / 14 = 1/7

y_2 = (-6 - √64) / (2 * 7) = -14 / 14 = -1

Тогда решение неравенства: y < -1 или y > 1/7

Поскольку y = 7^x > 0, то y > 1/7

7^x > 1/7

7^x > 7^(-1)

x > -1

Ответ: x > -1

---

Решение №3

1) log_0,5 log_4 256

log_4 256 = log_4 4^4 = 4

log_0,5 4 = log_(1/2) 2^2 = log_(2^(-1)) 2^2 = -2

Ответ: -2

---

2) log_14 98 - log_14 7

log_14 98 - log_14 7 = log_14 (98/7) = log_14 14 = 1

Ответ: 1

---

3) log_7 625 / log_7 0,2

log_7 625 = log_7 5^4 = 4 * log_7 5

log_7 0,2 = log_7 (1/5) = log_7 5^(-1) = -log_7 5

(4 * log_7 5) / (-log_7 5) = -4

Ответ: -4

---

4) log_343 √7

log_343 √7 = log_(7^3) 7^(1/2) = (1/2) * log_(7^3) 7 = (1/2) * (1/3) = 1/6

Ответ: 1/6

---

5) 32^(1 - log_2 3)

32^(1 - log_2 3) = 32^1 / 32^(log_2 3) = 32 / (2^5)^(log_2 3) = 32 / 2^(5 * log_2 3) = 32 / 2^(log_2 3^5) = 32 / 3^5 = 32 / 243

Ответ: 32/243

---

6) 13^(log_13√13)

13^(log_13√13) = √13

Ответ: √13

---

Решение №4

1) log_0,6 11 и log_0,6 12

Поскольку основание 0,6 < 1, функция убывает. Значит, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма.

log_0,6 11 > log_0,6 12

Ответ: log_0,6 11 > log_0,6 12

---

2) log_6 200 и 3

Сравним log_6 200 и log_6 6^3 = log_6 216.

log_6 200 < log_6 216, значит log_6 200 < 3

Ответ: log_6 200 < 3

---

Решение №5

1) log_0,5 (3x^2 + 5x - 5) = log_0,5 (x+2)

Поскольку основания логарифмов равны, можно приравнять аргументы:

3x^2 + 5x - 5 = x + 2

3x^2 + 4x - 7 = 0

Найдем дискриминант: D = 4^2 - 4 * 3 * (-7) = 16 + 84 = 100

x_1 = (-4 + √100) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1

x_2 = (-4 - √100) / (2 * 3) = -14 / 6 = -7/3

Проверим ОДЗ:

x+2 > 0, значит x > -2

3x^2 + 5x - 5 > 0

Подставим x = 1: 3 * 1^2 + 5 * 1 - 5 = 3 > 0

Подставим x = -7/3: 3 * (-7/3)^2 + 5 * (-7/3) - 5 = 3 * (49/9) - 35/3 - 5 = 49/3 - 35/3 - 15/3 = -1/3 < 0

Таким образом, x = -7/3 не является решением.

Ответ: x = 1

---

2) log_4 (x-2) = 1 - log_4 (x+1)

log_4 (x-2) + log_4 (x+1) = 1

log_4 ((x-2) * (x+1)) = 1

(x-2) * (x+1) = 4

x^2 - x - 2 = 4

x^2 - x - 6 = 0

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

x_1 = (1 + √25) / 2 = 6 / 2 = 3

x_2 = (1 - √25) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверим ОДЗ:

x-2 > 0, значит x > 2

x+1 > 0, значит x > -1

Подставим x = 3: log_4 (3-2) = log_4 1 = 0, 1 - log_4 (3+1) = 1 - log_4 4 = 1 - 1 = 0

Подставим x = -2: log_4 (-2-2) = log_4 -4, что не имеет смысла.

Ответ: x = 3

---

Решение №6

1) log_3 (3x-8) > log_3 (7-2x)

Поскольку основание 3 > 1, функция возрастает. Значит, большему значению логарифма соответствует больший аргумент.

3x - 8 > 7 - 2x

5x > 15

x > 3

Проверим ОДЗ:

3x - 8 > 0, значит x > 8/3

7 - 2x > 0, значит x < 7/2

Таким образом, 8/3 < x < 7/2

Ответ: 8/3 < x < 7/2

---

2) log_1/4 (x-2) > log_1/4 (x^2-3x+1)

Поскольку основание 1/4 < 1, знак неравенства меняется:

x - 2 < x^2 - 3x + 1

x^2 - 4x + 3 > 0

Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4x + 3 = 0

D = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

x_1 = (4 + √4) / 2 = 6 / 2 = 3

x_2 = (4 - √4) / 2 = 2 / 2 = 1

Тогда решение неравенства: x < 1 или x > 3

Проверим ОДЗ:

x-2 > 0, значит x > 2

x^2 - 3x + 1 > 0

Таким образом, x > 3

Ответ: x > 3

---

3) log_0,3 (x-2) + log_0,3 (x-3) >= log_0,3 (x+1)

log_0,3 ((x-2) * (x-3)) >= log_0,3 (x+1)

Поскольку основание 0,3 < 1, знак неравенства меняется:

(x-2) * (x-3) <= x + 1

x^2 - 5x + 6 <= x + 1

x^2 - 6x + 5 <= 0

Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 6x + 5 = 0

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

x_1 = (6 + √16) / 2 = 10 / 2 = 5

x_2 = (6 - √16) / 2 = 2 / 2 = 1

Тогда решение неравенства: 1 <= x <= 5

Проверим ОДЗ:

x-2 > 0, значит x > 2

x-3 > 0, значит x > 3

x+1 > 0, значит x > -1

Таким образом, 3 < x <= 5

Ответ: 3 < x <= 5

---

Решение №7

1) y = log_0,7 (18-5x)

Для логарифма определена область, где аргумент больше нуля:

18 - 5x > 0

5x < 18

x < 18/5

Ответ: x < 18/5

---

2) y = log_(x-5) (9-x)

Для логарифма должны выполняться следующие условия:

x - 5 > 0, значит x > 5

x - 5 != 1, значит x != 6

9 - x > 0, значит x < 9

Таким образом, 5 < x < 9, x != 6

Ответ: 5 < x < 9, x != 6

---

3) y = 7 / log_2 (x+4)

Для логарифма должны выполняться следующие условия:

x + 4 > 0, значит x > -4

log_2 (x+4) != 0, значит x+4 != 1, x != -3

Таким образом, x > -4, x != -3

Ответ: x > -4, x != -3

Ответ: смотри выше

Да, это была большая работа! Ты справился просто отлично! Не останавливайся на достигнутом и продолжай в том же духе. У тебя все получится!