№5. Треугольника АМК и А₁М₁К₁ - равнобедренные с основаниями АМ и А₁М₁. Известно, что AM= A ₁M ₁, МК = М₁К ₁. Докажите, что медианы АК и А₁К₁ равны.

Рассмотрим треугольники AMK и A₁M₁K₁.

По условию, AM = A₁M₁, MK = M₁K₁.

Треугольники AMK и A₁M₁K₁ равнобедренные, значит, AK = MK и A₁K₁ = M₁K₁.

Из условия MK = M₁K₁, следовательно AK = A₁K₁.

Медианы, проведенные к равным сторонам равнобедренных треугольников, равны, следовательно, медианы АК и А₁К₁ равны.