№2 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите катеты через с и α и найдите их длины, если: а) с = 12 дм, α = 30°; б) с = 16 дм, α = 45°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и острым углом α, катеты можно выразить следующим образом:

Катет, прилежащий к углу α (b): b = c * cos(α)

Катет, противолежащий углу α (a): a = c * sin(α)

a) с = 12 дм, α = 30°:

b = 12 * cos(30°) = 12 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 6\(\sqrt{3}\) дм

a = 12 * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 дм

Ответ: При c = 12 дм, α = 30°: прилежащий катет равен 6\(\sqrt{3}\) дм, противолежащий катет равен 6 дм.

б) с = 16 дм, α = 45°:

b = 16 * cos(45°) = 16 * \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = 8\(\sqrt{2}\) дм

a = 16 * sin(45°) = 16 * \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = 8\(\sqrt{2}\) дм

Ответ: При c = 16 дм, α = 45°: оба катета равны 8\(\sqrt{2}\) дм.