№2 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, К – середина АС, ВС = 13 см. На сторонах АВ и ВС соответственно отмечены точки Е и Р так, что углы АКЕ и СКР равны, ВЕ= 5 см. Найдите длину PC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC.
   • AB = BC (по условию), значит, треугольник ABC - равнобедренный.
   • BK - медиана (так как K - середина AC), следовательно, BK также является биссектрисой и высотой треугольника ABC.
   • Значит, ∠ABK = ∠CBK.
2. Рассмотрим треугольники AKE и CKP.
   • ∠AKE = ∠CKP (по условию).
   • AK = KC (так как K - середина AC).
   • Так как ∠ABK = ∠CBK, а углы AKE и CKP равны, то ∠KEB = ∠KPB (смежные углы с равными).
3. Рассмотрим треугольники BEK и BPK.
   • BE = BP (так как треугольники BEK и BPK равны по стороне и двум прилежащим углам).
   • Тогда PC = BC - BP.
   • Так как BE = 5 см, то BP = 5 см. PC = 13 см - 5 см = 8 см.

Ответ: PC = 8 см.