№1. Вычислите (\frac{1}{3})^2 + (\frac{25}{36})^3 : (\frac{4}{9})^8

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия со степенями и дробями.

1. Вычислим первую степень: $$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$$.
2. Вычислим вторую степень: $$(\frac{25}{36})^3 = \frac{25^3}{36^3} = \frac{15625}{46656}$$.
3. Вычислим третью степень: $$(\frac{4}{9})^8 = \frac{4^8}{9^8} = \frac{65536}{43046721}$$.
4. Разделим вторую степень на третью: $$\frac{15625}{46656} : \frac{65536}{43046721} = \frac{15625}{46656} \cdot \frac{43046721}{65536} = \frac{15625 \cdot 43046721}{46656 \cdot 65536} = \frac{672605015625}{305175781376} \approx 2.204$$.
5. Сложим результат с первой степенью: $$\frac{1}{9} + \frac{672605015625}{305175781376} = \frac{33908464577.33 + 672605015625}{305175781376} = \frac{706513480202.33}{305175781376} \approx 2.315$$.

Приведем к общему знаменателю для более точного сложения:

$$\frac{1}{9} + \frac{15625}{46656} : \frac{65536}{43046721} = \frac{1}{9} + \frac{15625}{46656} \cdot \frac{43046721}{65536} = \frac{1}{9} + \frac{672605015625}{305175781376}$$.

Общий знаменатель: $$9 \cdot 305175781376 = 2746582032384$$.

Тогда: $$\frac{305175781376}{2746582032384} + \frac{6125445140625}{2746582032384} = \frac{6430620922001}{2746582032384} \approx 2.341$$.

Следовательно, ответ:

$$\frac{1}{9} + \frac{672605015625}{305175781376} = \frac{6430620922001}{2746582032384} \approx 2.341$$

Ответ: 2.341