№1. Вычислите $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{25}{36}\right)^{3}:\left(\frac{4}{9}\right)^{8}$$.

Для решения данного выражения, необходимо выполнить следующие действия:

1. Возвести каждое число в степень:
2. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$$
3. $$\left(\frac{25}{36}\right)^{3} = \frac{25^3}{36^3} = \frac{15625}{46656}$$
4. $$\left(\frac{4}{9}\right)^{8} = \frac{4^8}{9^8} = \frac{65536}{43046721}$$
5. Выполнить деление:
6. $$\frac{15625}{46656} : \frac{65536}{43046721} = \frac{15625}{46656} \times \frac{43046721}{65536} = \frac{15625 \times 43046721}{46656 \times 65536} = \frac{672605015625}{30517578136}$$
7. Выполнить сложение:
8. $$\frac{1}{9} + \frac{672605015625}{30517578136} = \frac{3417531 \times 1 + 672605015625}{30517578136} = \frac{3390842015}{30517578136} = \frac{3390842015 + 672605015625}{30517578136} = \frac{675995857640}{30517578136}$$

Сократим дробь:

$$\frac{675995857640}{30517578136} = \frac{84499482205}{3814697267}$$

Для удобства, можно представить числа как десятичные дроби:

$$\frac{1}{9} \approx 0.1111$$ $$\frac{15625}{46656} \approx 0.3350$$ $$\frac{65536}{43046721} \approx 0.0015$$ $$\frac{25}{36} \approx 0.6944$$

Приблизительные вычисления:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2} + \left(\frac{25}{36}\right)^{3}:\left(\frac{4}{9}\right)^{8} \approx 0.1111 + 0.3350 : 0.0015 = 0.1111 + 223.33 = 223.4411$$

Ответ:

После выполнения действий с обыкновенными дробями и сокращения, получился ответ: $$\frac{84499482205}{3814697267}$$

После вычисления десятичных дробей, получился ответ: $$223.4411$$

Выполним точно вычисления: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{25}{36}\right)^{3}:\left(\frac{4}{9}\right)^{8} = \frac{1}{9} + \frac{15625}{46656} : \frac{65536}{43046721} = \frac{1}{9} + \frac{15625}{46656} \cdot \frac{43046721}{65536} = \frac{1}{9} + \frac{672605015625}{30517578136} = \frac{3390842015}{30517578136} + \frac{672605015625}{30517578136} = \frac{675995857640}{30517578136} = \frac{84499482205}{3814697267}$$

Ответ: $$\frac{84499482205}{3814697267}$$