№2. Вычислите интеграл: a) ∫₋₁² (9x²-x-2) dx б) ∫₀^(π/3) sin 3x dx в) ∫₁⁹ (4x)/(x¹⁵) dx г) ∫_(π/6)^(π/4) 8/(sin² 2x) dx д) ∫₋₅¹ √(2+x) dx №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-1)2, прямыми х=-1 и х= 2 и осьюОх. *б) графиком функции у=4/x при х>0, параболой y = -x2+4x+1. 4. Решить систему уравнений А) {3ˣ⋅7ʸ=63, 3ˣ+7ʸ=16} Б) {√x−√y=1, √x+√y=19}.

№2. Вычислите интеграл:

а) ∫₋₁² (9x²-x-2) dx

Первообразная функции 9x² - x - 2 равна 3x³ - (x²/2) - 2x. Вычислим интеграл:

[3x³ - (x²/2) - 2x] от -1 до 2 = (3(2)³ - (2²/2) - 2(2)) - (3(-1)³ - ((-1)²/2) - 2(-1)) = (24 - 2 - 4) - (-3 - 0.5 + 2) = 18 - (-1.5) = 19.5

Ответ: 19.5

б) ∫₀^(π/3) sin 3x dx

Первообразная функции sin 3x равна -1/3 cos 3x. Вычислим интеграл:

[-1/3 cos 3x] от 0 до π/3 = (-1/3 cos π) - (-1/3 cos 0) = (-1/3 * (-1)) - (-1/3 * 1) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Ответ: 2/3

в) ∫₁⁹ (4x)/(x¹⁵) dx = ∫₁⁹ 4x⁻⁰⁵ dx

Первообразная функции 4x⁻⁰⁵ равна 8√x. Вычислим интеграл:

[8√x] от 1 до 9 = 8√9 - 8√1 = 8*3 - 8*1 = 24 - 8 = 16

Ответ: 16

г) ∫_(π/6)^(π/4) 8/(sin² 2x) dx

Первообразная функции 8/(sin² 2x) равна -4ctg(2x). Вычислим интеграл:

[-4ctg(2x)] от π/6 до π/4 = -4ctg(π/2) - (-4ctg(π/3)) = -4 * 0 + 4 * (1/√3) = 4/√3 = (4√3)/3

Ответ: (4√3)/3

д) ∫₋₅¹ √(2+x) dx

Первообразная функции √(2+x) равна (2/3)(2+x)^(3/2). Вычислим интеграл:

[(2/3)(2+x)^(3/2)] от -5 до 1 = (2/3)(2+1)^(3/2) - (2/3)(2-5)^(3/2) = (2/3)(3)^(3/2) - (2/3)(-3)^(3/2)

Заметим, что интеграл не существует, так как √(2+x) не определен при x < -2, то есть на отрезке [-5, 1].

Однако, если мы рассматриваем только значения x ≥ -2, то:

[(2/3)(2+x)^(3/2)] от -2 до 1 = (2/3)(2+1)^(3/2) - (2/3)(2-2)^(3/2) = (2/3)(3)^(3/2) - (2/3)(0)^(3/2) = (2/3) * 3√3 = 2√3

Ответ: 2√3 (если интеграл берется от -2 до 1)

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) параболой у=(x-1)², прямыми х=-1 и х=2 и осью Ох.

Площадь фигуры равна интегралу от -1 до 2 (x-1)² dx = ∫₋₁² (x² - 2x + 1) dx = [x³/3 - x² + x] от -1 до 2 = (8/3 - 4 + 2) - (-1/3 - 1 - 1) = (8/3 - 2) - (-1/3 - 2) = 8/3 - 2 + 1/3 + 2 = 9/3 = 3

Ответ: 3

б) графиком функции у=4/x при х>0, параболой y = -x²+4x+1.

Нужно найти точки пересечения этих графиков и вычислить интеграл разности функций.

4/x = -x² + 4x + 1

4 = -x³ + 4x² + x

x³ - 4x² - x + 4 = 0

(x-4)(x²-1) = 0

(x-4)(x-1)(x+1) = 0

x₁ = 4, x₂ = 1, x₃ = -1 (не подходит, так как x > 0)

Площадь = ∫₁⁴ (-x² + 4x + 1 - 4/x) dx = [-x³/3 + 2x² + x - 4ln|x|] от 1 до 4 = (-64/3 + 32 + 4 - 4ln4) - (-1/3 + 2 + 1 - 4ln1) = (-64/3 + 36 - 4ln4) - (-1/3 + 3) = -64/3 + 36 - 4ln4 + 1/3 - 3 = -63/3 + 33 - 4ln4 = -21 + 33 - 4ln4 = 12 - 4ln4 = 12 - 8ln2

Ответ: 12 - 8ln2

4. Решить систему уравнений

А) {3ˣ⋅7ʸ=63, 3ˣ+7ʸ=16}

Пусть a = 3ˣ и b = 7ʸ. Тогда система уравнений перепишется как:

{a⋅b = 63, a + b = 16}

Из второго уравнения выразим a = 16 - b и подставим в первое уравнение:

(16 - b)⋅b = 63

16b - b² = 63

b² - 16b + 63 = 0

(b - 7)(b - 9) = 0

b₁ = 7, b₂ = 9

Если b = 7, то a = 16 - 7 = 9

Если b = 9, то a = 16 - 9 = 7

Значит, у нас есть два решения:

1) 3ˣ = 9, 7ʸ = 7 => x = 2, y = 1

2) 3ˣ = 7, 7ʸ = 9 => x = log₃7, y = log₇9

Ответ: (2, 1), (log₃7, log₇9)

Б) {√x−√y=1, √x+√y=19}

Пусть a = √x и b = √y. Тогда система уравнений перепишется как:

{a - b = 1, a + b = 19}

Сложим оба уравнения: 2a = 20 => a = 10

Тогда b = 19 - a = 19 - 10 = 9

Значит, √x = 10 и √y = 9 => x = 100, y = 81

Ответ: (100, 81)