0.14 Натуральные числа а и b, a > b > 1 являются взаимно простыми и их произведение равно 120. Найдите все такие пары.

Решение:

Нам нужно найти пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), такие что \(a > b > 1\), \(a\) и \(b\) взаимно простые, и \(a \cdot b = 120\).

Сначала разложим число 120 на простые множители:

\[ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \]

Теперь найдём пары множителей, которые являются взаимно простыми. Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1.

1. Число 120 можно представить как произведение двух множителей.
2. Пары множителей числа 120:
• \(1 \cdot 120\)
• \(2 \cdot 60\)
• \(3 \cdot 40\)
• \(4 \cdot 30\)
• \(5 \cdot 24\)
• \(6 \cdot 20\)
• \(8 \cdot 15\)
• \(10 \cdot 12\)
3. Из этих пар выберем те, где числа взаимно простые. Для этого проверим НОД (наибольший общий делитель) каждой пары:
• НОД(1, 120) = 1 (взаимно простые)
• НОД(2, 60) = 2 (не взаимно простые)
• НОД(3, 40) = 1 (взаимно простые)
• НОД(4, 30) = 2 (не взаимно простые)
• НОД(5, 24) = 1 (взаимно простые)
• НОД(6, 20) = 2 (не взаимно простые)
• НОД(8, 15) = 1 (взаимно простые)
• НОД(10, 12) = 2 (не взаимно простые)
4. Мы нашли пары взаимно простых множителей: (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15).
5. По условию \(a > b > 1\), поэтому пара (1, 120) не подходит, так как \(b\) должно быть больше 1.
6. Остаются пары, где оба числа больше 1: (3, 40), (5, 24), (8, 15).
7. Теперь учтем условие \(a > b\) и переставим множители в каждой паре, если это необходимо:
• Пара (40, 3): \(a=40, b=3\). \(40 > 3 > 1\). НОД(40, 3) = 1. Подходит.
• Пара (24, 5): \(a=24, b=5\). \(24 > 5 > 1\). НОД(24, 5) = 1. Подходит.
• Пара (15, 8): \(a=15, b=8\). \(15 > 8 > 1\). НОД(15, 8) = 1. Подходит.

Ответ: пары (40; 3), (24; 5), (15; 8).