0.22. Через вершину A треугольника ABC к стороне BC проведены прямые AD и AE. Одна из них образует со стороной AB угол, равный углу C, а другая — со стороной AC угол, равный углу B. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный (рис. 0.32).

Пусть \(\angle BAD=\angle C\), а \(\angle CAE=\angle B\). Точки \(D\) и \(E\) лежат на стороне \(BC\).

1. Так как \(D\in BC\), то \(\angle ABD=\angle B\). В треугольнике \(ABD\):
   \(\angle ADB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD=180^\circ-\angle C-\angle B=\angle A\).
2. Так как \(E\in BC\), то \(\angle ACE=\angle C\). В треугольнике \(ACE\):
   \(\angle AEC=180^\circ-\angle CAE-\angle ACE=180^\circ-\angle B-\angle C=\angle A\).
3. По теореме синусов в треугольнике \(ABD\):
   \[AD=\frac{AB\sin\angle B}{\sin\angle A}.\]
4. По теореме синусов в треугольнике \(ACE\):
   \[AE=\frac{AC\sin\angle C}{\sin\angle A}.\]
5. В треугольнике \(ABC\) по теореме синусов \(AB=2R\sin\angle C\), \(AC=2R\sin\angle B\). Поэтому
   \[AB\sin\angle B=AC\sin\angle C.\]
   Следовательно, \(AD=AE\).

Значит, треугольник \(ADE\) равнобедренный, его основание — \(DE\).

Ответ: \(AD=AE\), поэтому треугольник \(ADE\) равнобедренный.