0.56 Сравните числа 2 и 3√3 - 2√2.

Решение:

Для сравнения чисел 2 и \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \) возведём оба числа в квадрат.

1. Квадрат числа 2:

\[ 2^2 = 4 \]

2. Квадрат числа \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \):

\[ (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 \]\[ = 9 \cdot 3 - 12\sqrt{6} + 4 \cdot 2 \]\[ = 27 - 12\sqrt{6} + 8 \]\[ = 35 - 12\sqrt{6} \]

Теперь сравним 4 и \( 35 - 12\sqrt{6} \). Перенесём 4 в правую часть:

\[ 0 \text{ vs } 35 - 12\sqrt{6} - 4 \]\[ 0 \text{ vs } 31 - 12\sqrt{6} \]

Сравним \( 31 \) и \( 12\sqrt{6} \). Возведём оба числа в квадрат:

\[ 31^2 = 961 \]
\[ (12\sqrt{6})^2 = 144 \cdot 6 = 864 \]

Так как \( 961 > 864 \), то \( 31 > 12\sqrt{6} \).

Следовательно, \( 31 - 12\sqrt{6} > 0 \).

Это означает, что \( 35 - 12\sqrt{6} > 4 \).

Так как квадраты чисел положительны, а квадрат числа \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \) больше квадрата числа 2, то само число \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \) больше 2.

Ответ: 2 < 3√3 - 2√2.