005. Докажите, что если x > 0 и y > 0, то: a) x/y^2 + y/x^2 >= 1/x + 1/y; б) x^2/y + y^2/x >= x + y.

Решение:

• а) Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \]
• \[ \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2} \ge \frac{y+x}{xy} \]
• \[ \frac{x^3 + y^3}{x^2 y^2} - \frac{x+y}{xy} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2 y^2} - \frac{xy(x+y)}{x^2 y^2} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2 - xy)}{x^2 y^2} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2 - 2xy + y^2)}{x^2 y^2} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x-y)^2}{x^2 y^2} \ge 0 \]
• Так как x > 0 и y > 0, то x+y > 0, x^2 > 0, y^2 > 0. Выражение (x-y)^2 всегда неотрицательно. Следовательно, левая часть неравенства неотрицательна.
• б) Аналогично приводим к общему знаменателю:
• \[ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \ge x+y \]
• \[ \frac{x^3 + y^3}{xy} \ge x+y \]
• \[ \frac{x^3 + y^3}{xy} - (x+y) \ge 0 \]
• \[ \frac{x^3 + y^3 - xy(x+y)}{xy} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2) - xy(x+y)}{xy} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2 - xy)}{xy} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x^2 - 2xy + y^2)}{xy} \ge 0 \]
• \[ \frac{(x+y)(x-y)^2}{xy} \ge 0 \]
• Так как x > 0 и y > 0, то x+y > 0, xy > 0. Выражение (x-y)^2 всегда неотрицательно. Следовательно, левая часть неравенства неотрицательна.

Ответ: Неравенства доказаны.