009. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 8x² - nx + 1 = 0. x₁⁻¹ + x₂⁻¹ = 6. Найдите n.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( 8x^2 - nx + 1 = 0 \).

По теореме Виета для данного уравнения:

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-n}{8} = \frac{n}{8} \)

Произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{1}{8} \)

Дано условие: \( x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6 \).

Преобразуем условие:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 6 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = 6 \]

Подставим значения суммы и произведения корней из теоремы Виета:

\[ \frac{\frac{n}{8}}{\frac{1}{8}} = 6 \]

Упростим:

\[ \frac{n}{8} \cdot \frac{8}{1} = 6 \]

\[ n = 6 \]

Ответ: n = 6.