01. Решите неравенства: а) \((x-2)^2>4-x^2\); б) \((x+3)^2<x^2-9\); в) \(3x^2-6x<8-6x^2\); г) \(5x^2+17x>5x-4\).

а) Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\((x-2)^2>4-x^2\)

\(x^2-4x+4>4-x^2\)

\(2x^2-4x>0\), то есть \(2x(x-2)>0\). Произведение положительно, когда оба множителя одного знака.

Ответ: \(x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\).

б) Раскроем скобки и сократим \(x^2\):

\((x+3)^2

\(x^2+6x+9

Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\).

в) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(3x^2-6x<8-6x^2\)

\(9x^2-6x-8<0\).

Найдём корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(D=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-8)=324\), поэтому \(x_1=-\frac{2}{3}\), \(x_2=\frac{4}{3}\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, трёхчлен отрицателен между корнями.

Ответ: \(x\in\left(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\).

г) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(5x^2+17x>5x-4\)

\(5x^2+12x+4>0\).

Корни трёхчлена: \(D=12^2-4\cdot5\cdot4=64\), \(x_1=-2\), \(x_2=-\frac{2}{5}\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.

Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(-\frac{2}{5};+\infty\right)\).