02 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть второй острый угол равен β.

\( \alpha + \beta = 90° \)

\( \beta = 90° - \alpha \)

Теперь выразим катеты через гипотенузу c и угол α.

Прилежащий катет (обозначим его b) равен:

\( \cos \alpha = \frac{b}{c} \)

\( b = c \cdot \cos \alpha \)

Противолежащий катет (обозначим его a) равен:

\( \sin \alpha = \frac{a}{c} \)

\( a = c \cdot \sin \alpha \)

Найдем значения:

Дано: \( c = 24 \) см, \( \alpha = 35° \).

1. Найдем второй острый угол:

\( \beta = 90° - 35° = 55° \)

2. Найдем прилежащий катет:

\( b = 24 \cdot \cos 35° \)

Используя калькулятор, \( \cos 35° \approx 0.819 \).

\( b \approx 24 \cdot 0.819 \approx 19.66 \) см.

3. Найдем противолежащий катет:

\( a = 24 \cdot \sin 35° \)

Используя калькулятор, \( \sin 35° \approx 0.574 \).

\( a \approx 24 \cdot 0.574 \approx 13.78 \) см.

Ответ: Второй острый угол равен 55°. Катеты равны approximately 13.78 см и 19.66 см.