03.4. Найдите все значения параметра a, при которых данное число p является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения a решите данное уравнение: а) x³ + 3x² − 7x + a = 0, p = 2; б) x³ − ax² − 5x + 4 = 0, p = 1; в) 2x³ − 5x² + ax − 4 = 0, p = −1; г) ax³ − 3x² − 5x − a² = 0, p = −1.

а) Подставим корень p = 2 в уравнение: 8 + 12 − 14 + a = 0, поэтому a = −6. Получаем x³ + 3x² − 7x − 6 = 0. Так как x = 2 — корень, делим многочлен на x − 2: (x − 2)(x² + 5x + 3) = 0. Из квадратного уравнения x² + 5x + 3 = 0 находим x = (−5 ± √13)/2.

Ответ: a = −6; корни: 2, (−5 + √13)/2, (−5 − √13)/2.

б) Подставим p = 1: 1 − a − 5 + 4 = 0, откуда a = 0. Тогда x³ − 5x + 4 = 0. Выделим корень x = 1: (x − 1)(x² + x − 4) = 0. Квадратное уравнение даёт x = (−1 ± √17)/2.

Ответ: a = 0; корни: 1, (−1 + √17)/2, (−1 − √17)/2.

в) Подставим p = −1: −2 − 5 − a − 4 = 0, поэтому a = −11. Получаем 2x³ − 5x² − 11x − 4 = 0. Разложение на множители: (x + 1)(2x² − 7x − 4) = 0; квадратный множитель равен (2x + 1)(x − 4).

Ответ: a = −11; корни: −1, −1/2, 4.

г) Подставим p = −1: −a − 3 + 5 − a² = 0, то есть a² + a − 2 = 0. Отсюда a = 1 или a = −2.

При a = 1 получаем x³ − 3x² − 5x − 1 = 0. Разложение: (x + 1)(x² − 4x − 1) = 0, поэтому корни −1, 2 + √5 и 2 − √5.

При a = −2 получаем −2x³ − 3x² − 5x − 4 = 0, или после умножения на −1: 2x³ + 3x² + 5x + 4 = 0. Разложение: (x + 1)(2x² + x + 4) = 0. Дискриминант квадратного множителя равен 1 − 32 = −31, поэтому действительных корней у него нет. В комплексных числах его корни равны (−1 ± i√31)/4.

Ответ: a = 1: корни −1, 2 + √5, 2 − √5; a = −2: действительный корень −1 (в комплексных числах также (−1 + i√31)/4 и (−1 − i√31)/4).