03.5. Найдите целые корни уравнения: а) x³ + 3x² − 5x − 4 = 0; б) x⁴ − 3x³ + 4x² − 9x + 3 = 0; в) x⁴ + 2x³ − 5x² − 4x + 6 = 0; г) x⁵ − x⁴ − 5x³ + 5x² + 4x − 4 = 0.

По теореме о целых корнях целые корни многочлена с целыми коэффициентами должны быть делителями его свободного члена.

а) Возможные целые корни: ±1, ±2, ±4. Подстановка x = −4 обращает многочлен в нуль; деление на x + 4 даёт x² − x − 1. Его корни не целые, так как дискриминант равен 5.

Ответ: −4.

б) Возможные целые корни: ±1, ±3. Ни одно из этих чисел не обращает многочлен в нуль: значения многочлена при 1, −1, 3, −3 равны соответственно −4, 20, 12, 228.

Ответ: целых корней нет.

в) Разложим многочлен: x⁴ + 2x³ − 5x² − 4x + 6 = (x − 1)(x + 3)(x² − 2). Квадратный множитель имеет корни ±√2, не являющиеся целыми.

Ответ: −3 и 1.

г) Группируем множители: x⁵ − x⁴ − 5x³ + 5x² + 4x − 4 = (x − 1)(x⁴ − 5x² + 4) = (x − 1)²(x + 1)(x − 2)(x + 2).

Ответ: −2, −1, 1, 2; корень 1 имеет кратность 2.