05 Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС=18см, ∠B=30°.

Привет! Давай разберёмся с этой задачей по геометрии. Нам нужно найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника. Помнишь, что описанная окружность прямоугольного треугольника имеет центр в середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы?

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°.
• Описана окружность.

а) АС = 8 см, ВС = 6 см

Найти: R (радиус описанной окружности)

1. Находим гипотенузу AB по теореме Пифагора:
• \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
• \[ AB^2 = 8^2 + 6^2 \]
• \[ AB^2 = 64 + 36 \]
• \[ AB^2 = 100 \]
• \[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
2. Находим радиус описанной окружности:
• Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
• \[ R = \frac{AB}{2} \]
• \[ R = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

б) АС = 18 см, ∠B = 30°

Найти: R (радиус описанной окружности)

1. Находим гипотенузу AB, используя свойство катета, лежащего напротив угла в 30°:
• Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AC = 1/2 * AB.
• \[ AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)} \]
• \[ AB = \frac{18}{\sin(30^\circ)} \]
• \[ AB = \frac{18}{0.5} = 36 \text{ см} \]
2. Находим радиус описанной окружности:
• \[ R = \frac{AB}{2} \]
• \[ R = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]

Ответ:

• а) 5 см
• б) 18 см