053. Найдите решение системы уравнений:

Решение системы уравнений:

1)

\( \begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6 \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3 \end{cases} \)

Раскроем скобки и упростим первое уравнение:

\( x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + x + 2x + 2 - 6 \)

\( x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + 3x - 4 \)

\( -6x + 9 - 4y = 3x - 4 \)

\( -4y = 3x + 6x - 4 - 9 \)

\( -4y = 9x - 13 \)

\( 4y = -9x + 13 \)

\( y = \frac{-9x + 13}{4} \)

Раскроем скобки и упростим второе уравнение:

\( xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 21 + 3 \)

\( xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 18 \)

\( 6x - 4y - 24 = -7x + 3y - 18 \)

\( 6x + 7x - 4y - 3y = -18 + 24 \)

\( 13x - 7y = 6 \)

Подставим значение \( y \) из первого уравнения во второе:

\( 13x - 7\left(\frac{-9x + 13}{4}\right) = 6 \)

Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби:

\( 4 # 13x - 7(-9x + 13) = 4 # 6 \)

\( 52x + 63x - 91 = 24 \)

\( 115x = 24 + 91 \)

\( 115x = 115 \)

\( x = 1 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 1 \) в уравнение для \( y \):

\( y = \frac{-9(1) + 13}{4} = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Ответ: \( x=1, y=1 \).

2)

\( \begin{cases} (x - y)(x + y) – x(x + 10) = y(5 – y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \end{cases} \)

Упростим первое уравнение:

\( x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \)

\( -y^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 \)

\( -10x = 5y + 15 \)

Разделим на 5:

\( -2x = y + 3 \)

\( y = -2x - 3 \)

Упростим второе уравнение:

\( x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 - 18 \)

\( x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 - 18 \)

\( 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 - 18 \)

\( 2x + 2 - 2y = 8x + 20 + 4y - 18 \)

\( 2x + 2 - 2y = 8x + 4y + 2 \)

\( 2x - 8x - 2y - 4y = 2 - 2 \)

\( -6x - 6y = 0 \)

\( -6x = 6y \)

\( -x = y \)

Теперь подставим \( y = -x \) в уравнение \( y = -2x - 3 \):

\( -x = -2x - 3 \)

\( -x + 2x = -3 \)

\( x = -3 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = -x = -(-3) = 3 \)

Ответ: \( x=-3, y=3 \).