09.3.2. Точка K — середина гипотенузы AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и M выбраны на катетах BC и AC соответственно так, что BL = CM. Докажите, что треугольник LMK — также прямоугольный равнобедренный.

Пусть катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны \(a\): \(AC=BC=a\). Введём координаты:

\(C(0;0)\), \(A(a;0)\), \(B(0;a)\).

Обозначим \(CL=x\). Тогда \(BL=a-x\). По условию \(CM=BL\), значит \(CM=a-x\). Поэтому

\(L(0;x)\), \(M(a-x;0)\).

Так как \(K\) — середина гипотенузы \(AB\), то

\[K\left(\frac a2;\frac a2\right).\]

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{KM}\):

\[\overrightarrow{KL}=\left(-\frac a2;x-\frac a2\right),\qquad \overrightarrow{KM}=\left(\frac a2-x; -\frac a2\right).\]

Их скалярное произведение равно

\[\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{KM}=\left(-\frac a2\right)\left(\frac a2-x\right)+\left(x-\frac a2\right)\left(-\frac a2\right)=0.\]

Следовательно, \(KL\perp KM\), то есть угол \(LKM\) прямой.

Кроме того,

\[KL^2=\left(-\frac a2\right)^2+\left(x-\frac a2\right)^2,\]

\[KM^2=\left(\frac a2-x\right)^2+\left(-\frac a2\right)^2.\]

Так как \(\left(x-\frac a2\right)^2=\left(\frac a2-x\right)^2\), получаем \(KL^2=KM^2\), а значит, \(KL=KM\).

Следовательно, треугольник \(LMK\) имеет прямой угол при \(K\) и равные катеты \(KL\) и \(KM\).

Ответ: треугольник \(LMK\) — прямоугольный равнобедренный, причём \(\angle LKM=90^\circ\) и \(KL=KM\).